توسع: 5-3: معمل الهندسة: تطابق المثلثات القائمة

في الدرسين 5-3، 4-3 تعلمت نظريات ومسلمات تثبت تطابق المثلثات، فكيف تطبق هذه النظريات والمسلمات على المثلثات القائمة؟ ادرس كل زوج من المثلثات القائمة الآتية.

a)

b)

c)

حلل:

1) هل يتطابق كل زوج من المثلثات؟ إن كان ذلك صحيحاً، فأي نظرية تطابق أو مسلمة استعملت؟

نعم.

a) SAS

b) AAS

c) ASA

2) أعد كتابة قواعد التطابق في التمرين 1 باستعمال الساق (L)، أو الوتر (H) ليحل محل الضلع (S)، واحذف A لكل زاوية قائمة؛ لأن كل مثلث قائم الزاوية يحوي زاوية قائمة، وجميع الزوايا القوائم متطابقة.

a) LL

b) HA

c) LA

3) خمن: إذا علمت أن ضلعي الزاوية القائمة المتناظرين في المثلثات القائمة متطابقان، فما المعلومات الأخرى الضرورية حتى تؤكد تطابق المثلثات؟

لا نحتاج إلى معلومات إضافية، فتطابق الضلعين في مثلث قائم الزاوية مع نظيريهما في مثلث آخر قائم الزاوية كافٍ لإثبات التطابق.

4) هل يؤدي النموذج إلى رسم مثلث وحيد؟

نعم.

5) هل يمكنك استعمال طولي الوتر والضلع لتبين تطابق مثلثين قائمين؟

نعم.

6) خمن حالة SSA الخاصة بالمثلثات القائمة الزاوية.

يمكن إثبات تطابق مثلثين قائمين باستعمال SSA.

تمارين:

حدد ما إذا كان كل زوج من المثلثات الآتية متطابقين أم لا، وإذا كانت الإجابة ”نعم“، فاذكر المسلمة أو النظرية التي استعملتها:

7)

نعم، LA

8)

لا.

9)

نعم، HL

برهان: اكتب برهاناً لكل مما يأتي:

10) النظرية 3.7

المعطيات:

• $\mathrm{△}ABC,\mathrm{△}XYZ$ قائما الزاوية.
• $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }X$ قائمتان.
• $\overline{BC}\cong \overline{YZ}$
• $\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }Y$

• المطلوب: $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}XYZ$
• البرهان: نعلم أن $\mathrm{△}ABC,\mathrm{△}XYZ$ وأن $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }X$ قائمتان وأن $\overline{BC}\cong \overline{YZ}$ وأن $\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }Y$، وبما أن جميع الزوايا القائمة متطابقة، إذاً $\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }X$ ولذلك فإن $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}XYZ$ بحسب AAS.

11) النظرية 3.8 (إرشاد: توجد حالتان ممكنتان).

الحالة1:

المعطيات:

• $\mathrm{△}DEF,\mathrm{△}ABC$ قائما الزاوية فيهما $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }D$ قائمتان.
• $\overline{AC}\cong \overline{DF},\mathrm{\angle }C\cong \mathrm{\angle }F$

المطلوب: $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$

البرهان: نعلم أن $\mathrm{△}DEF,\mathrm{△}ABC$ قائما الزاوية فيهما $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }D$ قائمتان، وأن $\overline{AC}\cong \overline{DF},\mathrm{\angle }C\cong \mathrm{\angle }F$، ولأن جميع الزوايا القوائم متطابقة، إذاً $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$ بحسب ASA.

الحالة 2:

المعطيات:

• $\mathrm{△}DEF,\mathrm{△}ABC$ قائما الزاوية فيهما $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }E$ قائمتان.
• $\overline{CB}\cong \overline{DF},\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }F$

المطلوب: $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}EFD$

البرهان: نعلم أن $\mathrm{△}DEF,\mathrm{△}ABC$ قائما الزاوية فيهما $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }E$ قائمتان، وأن $\overline{CB}\cong \overline{DF},\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }F$.

$\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }E$ قائمتان لذا $\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }E$، ولأن جميع الزوايا القوائم متطابقة، إذاً $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}EFD$ بحسب AAS.

12) النظرية 3.9 (إرشاد: استعمل نظرية فيثاغورس).

المعطيات:

• $\mathrm{△}ABC,\mathrm{△}DEH$ قائما الزاوية
• $\overline{BC}\cong \overline{EF},\overline{AB}\cong \overline{DE}$

المطلوب: $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$

البرهان:

استعمل الشكل المجاور للإجابة عن السؤال 13.

13) المعطيات.

$\begin{array}{rl}\overline{AB}\perp \overline{BC},\overline{DC}& \perp \overline{BC}\\ \overline{AC}& \cong \overline{BD}\end{array}$

المطلوب:

$\overline{AB}\cong \overline{DC}$

البرهان: