للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق سبورة من متجر جوجل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

المساحة تحت المنحنى والتكامل

تدرب وحل المسائل

قرّب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى الدالة مستعملاً الطرف المعطى لتحديد ارتفاعات المستطيلات المعطى عددها في كلٍّ من الأشكال أدناه:

1) 5 مستطيلات، الطرف الأيمن.

التمثيل البياني

15 وحدة مربعة تقريباً.

2) 4 مستطيلات، الطرف الأيسر.

التمثيل البياني

9.25 وحدات مربعة.

3) 8 مستطيلات، الطرف الأيمن.

التمثيل البياني

14.29 وحدة مربعة

4) 5 مستطيلات الطرف الأيمن.

التمثيل البياني

0.65 وحدة مربعة.

5) أرضيات: يرغب أحمد في تبليط جزء من فناء منزله على شكل x نصف دائرة تمثله f (x)=(-x²+10x)^0.5.

a) قرّب مساحة المنطقة نصف الدائرية باستعمال الأطراف اليسرى لمستطيلات عرض كل منها وحدة واحدة.

b) إذا قرَّر أحمد تقريب المساحة باستعمال الأطراف اليمنى واليسرى معاً كما في الشكل أدناه، فكم تكون المساحة؟

التمثيل البياني

c) أوجد مساحة المنطقة باستعمال صيغة مساحة نصف الدائرة، أي التقريبين أقرب إلى المساحة الحقيقية؟ فسّر إجابتك.

39.27 وحدة مربعة، التقريب الأول أفضل. إجابة ممكنة: المساحة الإضافية الواقعة خارج نصف الدائرة والمحتواه في التقريب الأول تساعد على حساب مساحة المنطقة التي لم تدخل في حسابات المستطيلات.

قرّب مساحة المنطقة المظلَّلة تحت منحنى الدالة في كلّ من الأشكال الآتية مستعملاً الأطراف اليمنى ثم اليسرى؛ لتحديد ارتفاعات المستطيلات المعطى عرض كلّ منها، ثم أوجد الوسط للتقريبين:

6) العرض 0.5

التمثيل البياني

المساحة باستعمال الأطراف اليمنى هي 13.5 وحدة مربعة، المساحة باستعمال الأطراف اليسرى هي 10.5 وحدات مربعة، الوسط للمساحة هو 12 وحدة مربعة.

7) العرض 0.5

التمثيل البياني

المساحة باستعمال الأطراف اليمنى هي 12.75 وحدة مربعة، المساحة باستعمال الأطراف اليسرى هي 12.25 وحدة مربعة، الوسط للمساحة هو 12.5 وحدة مربعة.

8) العرض 0.57

التمثيل البياني

المساحة باستعمال الأطراف اليمنى هي 162.94 وحدة مربعة، المساحة باستعمال الأطراف اليسرى هي 171.94 وحدة مربعة، الوسط للمساحة هو 167.44 وحدة مربعة.

9) العرض 0.5

التمثيل البياني

المساحة باستعمال الأطراف اليمنى هي 18.91 وحدة مربعة. المساحة باستعمال الأطراف اليسرى هي 19.66 وحدة مربعة، الوسط للمساحة هو 19.28 وحدة مربعة.

استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

10) $\int_{1}^{4} 4 x^{2} d x$

84 وحدة مربعة.

11) $\int_{0}^{2} 6 x d x$

12 وحدة مربعة.

12) $\int_{1}^{3} (2 x^{2} + 3) d x$

$\frac{70}{3}$ وحدة مربعة.

13) $\int_{0}^{4} (4 x - x^{2}) d x$

$\frac{32}{3}$ وحدة مربعة.

14) $\int_{3}^{4} (- x^{2} + 6 x) d x$

$\frac{26}{3}$ وحدة مربعة.

15) $\int_{2}^{4} (- 3 x + 15) d x$

12 وحدة مربعة.

16) $\int_{1}^{5} (x^{2} - x + 1) d x$

$\frac{100}{3}$ وحدة مربعة.

17) $\int_{1}^{3} 12 x d x$

48 وحدة مربعة.

18) طباعة: ارجع إلى فقرة ''لماذا'' في بداية الدرس، إذا زاد عدد الكتب المطبوعة يومياً من 1000 كتاب إلى 1500 كتاب، فأوجد قيمة تكلفة الزيادة والمعطاة بالتكامل.

$\int_{1000}^{1500} (10 - 0.002 x) d x$

3750 ريالاً.

19) يمكن حساب التكاملات المحددة عندما يكون أحد حدي التكامل موجباً والآخر سالباً.

التمثيل البياني

a) أوجد طول قاعدة وارتفاع المثلث، ثم مساحته باستعمال قانون مساحة المثلث.

الارتفاع = 4 وحدات،
القاعدة = 4 وحدات،
المساحة = 8 وحدات مربعة.

b) أوجد مساحة المثلث بحساب التكامل $\int_{- 2}^{2} (x + 2) d x$ .

8 وحدات مربعة.

استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

20) $\int_{- 1}^{1} x^{2} d x$

$\frac{2}{3}$ وحدة مربعة.

21) $\int_{- 1}^{0} (x^{3} + 2) d x$

1.75 وحدة مربعة.

22) $\int_{- 4}^{- 2} (- x^{2} - 6 x) d x$

$\frac{52}{3}$ وحدة مربعة.

23) $\int_{- 3}^{- 2} - 5 x d x$

12.5 وحدة مربعة.

24) $\int_{- 2}^{0} (2 x + 6) d x$

8 وحدات مربعة.

25) $\int_{- 1}^{0} (x^{3} - 2 x) d x$

0.75 وحدة مربعة.

استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

26) $\int_{- 3}^{- 1} (- 2 x^{2} - 7 x) d x$

$\frac{32}{3}$ وحدة مربعة.

27) $\int_{- 2}^{0} (- x^{3}) d x$

4 وحدات مربعة.

28) $\int_{- 4}^{3} 2 d x$

14 وحدة مربعة.

29) $\int_{- 2}^{- 1} (- \frac{1}{2} x + 3) d x$

3.75 وحدة مربعة.

30) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة عملية إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين.

a) بيانياً: مثِّل منحنيي f(x)=-x²+4 ,g(x)=x² في المستوى الإحداثي نفسه، وظلل المساحتين التي يمثلهما التكاملان $\int_{0}^{1} (- x^{2} + 4) d x, \int_{0}^{1} x^{2} d x$ .

التمثيل البياني

b) تحليلياً: احسب $\int_{0}^{1} (- x^{2} + 4) d x, \int_{0}^{1} x^{2} d x$ .

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} (- x^{2} + 4) d x = 3 \frac{2}{3} \\ \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} \end{aligned}$

c) لفظياً: وضح لماذا تكون مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين مساوية ل $\int_{0}^{1} (- x^{2} + 4) d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$ . ثم احسب هذه القيمة باستعمال القيم التي أوجدتها في الفرع b.

إجابة ممكنة: إذا أردنا إيجاد المساحة المحصورة بين المنحنيين، فإننا نبدأ بالتكامل $\int_{0}^{1} (- x^{2} + 4) d x$ ، والذي يمثِّل المساحة الكلية بين (f (x والمحور x. وبما أننا لا نحتاج للمساحة تحت (g (x، لذا فإننا نطرح المساحة الناتجة عن التكامل $\int_{0}^{1} (- x^{2} + 4) d x من \int_{0}^{1} x^{2} d x$ لنحصل على $3 \frac{1}{3}$ أو 3.33 تقريباً.

d) تحليلياً: أوجد (f(x)-g(x، ثم احسب $\int_{0}^{1} [f (x) - g (x)] d x$ .

$3 \frac{1}{3} \cdot - 2 x^{2} + 4$

e) لفظياً: خمّن طريقة إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين.

عند حساب المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين، بإمكاننا حساب المساحة المحصورة تحت كل منحنى، ثم نطرح المساحة الصغرى من المساحة الكبرى، أو نطرح الدالة الصغرى من الدالة الكبرى، ونحسب تكامل الدالة الناتجة.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق سبورة من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

قرّب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى الدالة مستعملاً الطرف المعطى لتحديد ارتفاعات المستطيلات المعطى عددها في كلٍّ من الأشكال أدناه:

1) 5 مستطيلات، الطرف الأيمن.

2) 4 مستطيلات، الطرف الأيسر.

3) 8 مستطيلات، الطرف الأيمن.

4) 5 مستطيلات الطرف الأيمن.

5) أرضيات: يرغب أحمد في تبليط جزء من فناء منزله على شكل x نصف دائرة تمثله f (x)=(-x2+10x)0.5.

a) قرّب مساحة المنطقة نصف الدائرية باستعمال الأطراف اليسرى لمستطيلات عرض كل منها وحدة واحدة.

b) إذا قرَّر أحمد تقريب المساحة باستعمال الأطراف اليمنى واليسرى معاً كما في الشكل أدناه، فكم تكون المساحة؟

c) أوجد مساحة المنطقة باستعمال صيغة مساحة نصف الدائرة، أي التقريبين أقرب إلى المساحة الحقيقية؟ فسّر إجابتك.

6) العرض 0.5

7) العرض 0.5

8) العرض 0.57

9) العرض 0.5

استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

10) ∫144x2dx

11) ∫026xdx

12) ∫13(2x2+3)dx

13) ∫04(4x−x2)dx

14) ∫34(−x2+6x)dx

15) ∫24(−3x+15)dx

16) ∫15(x2−x+1)dx

17) ∫1312xdx

18) طباعة: ارجع إلى فقرة ''لماذا'' في بداية الدرس، إذا زاد عدد الكتب المطبوعة يومياً من 1000 كتاب إلى 1500 كتاب، فأوجد قيمة تكلفة الزيادة والمعطاة بالتكامل.

19) يمكن حساب التكاملات المحددة عندما يكون أحد حدي التكامل موجباً والآخر سالباً.

a) أوجد طول قاعدة وارتفاع المثلث، ثم مساحته باستعمال قانون مساحة المثلث.

b) أوجد مساحة المثلث بحساب التكامل ∫−22(x+2)dx.

استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

20) ∫−11x2dx

21) ∫−10(x3+2)dx

22) ∫−4−2(−x2−6x)dx

23) ∫−3−2−5xdx

24) ∫−20(2x+6)dx

25) ∫−10(x3−2x)dx

استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

26) ∫−3−1(−2x2−7x)dx

27) ∫−20(−x3)dx

28) ∫−432dx

29) ∫−2−1(−12x+3)dx

30) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة عملية إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين.

a) بيانياً: مثِّل منحنيي f(x)=-x2+4 ,g(x)=x2 في المستوى الإحداثي نفسه، وظلل المساحتين التي يمثلهما التكاملان ∫01(−x2+4)dx,∫01x2dx.

b) تحليلياً: احسب ∫01(−x2+4)dx,∫01x2dx.

c) لفظياً: وضح لماذا تكون مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين مساوية ل ∫01(−x2+4)dx−∫01x2dx. ثم احسب هذه القيمة باستعمال القيم التي أوجدتها في الفرع b.

d) تحليلياً: أوجد (f(x)-g(x، ثم احسب ∫01[f(x)−g(x)]dx.

e) لفظياً: خمّن طريقة إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

5) أرضيات: يرغب أحمد في تبليط جزء من فناء منزله على شكل x نصف دائرة تمثله f (x)=(-x²+10x)^0.5.

10) $\int_{1}^{4} 4 x^{2} d x$

11) $\int_{0}^{2} 6 x d x$

12) $\int_{1}^{3} (2 x^{2} + 3) d x$

13) $\int_{0}^{4} (4 x - x^{2}) d x$

14) $\int_{3}^{4} (- x^{2} + 6 x) d x$

15) $\int_{2}^{4} (- 3 x + 15) d x$

16) $\int_{1}^{5} (x^{2} - x + 1) d x$

17) $\int_{1}^{3} 12 x d x$

b) أوجد مساحة المثلث بحساب التكامل $\int_{- 2}^{2} (x + 2) d x$ .

20) $\int_{- 1}^{1} x^{2} d x$

21) $\int_{- 1}^{0} (x^{3} + 2) d x$

22) $\int_{- 4}^{- 2} (- x^{2} - 6 x) d x$

23) $\int_{- 3}^{- 2} - 5 x d x$

24) $\int_{- 2}^{0} (2 x + 6) d x$

25) $\int_{- 1}^{0} (x^{3} - 2 x) d x$

26) $\int_{- 3}^{- 1} (- 2 x^{2} - 7 x) d x$

27) $\int_{- 2}^{0} (- x^{3}) d x$

28) $\int_{- 4}^{3} 2 d x$

29) $\int_{- 2}^{- 1} (- \frac{1}{2} x + 3) d x$

a) بيانياً: مثِّل منحنيي f(x)=-x²+4 ,g(x)=x² في المستوى الإحداثي نفسه، وظلل المساحتين التي يمثلهما التكاملان $\int_{0}^{1} (- x^{2} + 4) d x, \int_{0}^{1} x^{2} d x$ .

b) تحليلياً: احسب $\int_{0}^{1} (- x^{2} + 4) d x, \int_{0}^{1} x^{2} d x$ .

c) لفظياً: وضح لماذا تكون مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين مساوية ل $\int_{0}^{1} (- x^{2} + 4) d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$ . ثم احسب هذه القيمة باستعمال القيم التي أوجدتها في الفرع b.

d) تحليلياً: أوجد (f(x)-g(x، ثم احسب $\int_{0}^{1} [f (x) - g (x)] d x$ .