حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

31) اكتشف الخطأ: سئل ماجد وخالد عن دقة تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلات، فأجاب ماجد: إنه عند تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلات اليمنى، فإن المساحة الناتجة تكون أكبر دائماً من المساحة الحقيقية تحت المنحنى، في حين أجاب خالد: إن المساحة المحسوبة باستعمال أطراف المستطيلات اليسرى تكون أكبر دائماً من المساحة الحقيقية تحت المنحنى، أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برر إجابتك.

كلاهما خطأ؛ إجابة ممكنة: إذا كانت الدالة متزايدة، فإن استعمال الأطراف اليمنى للمستطيلات سيعطي مساحات أكبر من تلك المساحة تحت المنحنى، في حين يعطي استعمال الأطراف اليسرى للمستطيلات مساحات أصغر، أما إذا كانت الدالة متناقصة، فإن استعمال الأطراف اليسرى للمستطيلات، سيعطي قيمة أكبر للمساحة، ويعطي استعمال الأطراف اليمنى قيمة أصغر.

32) تبرير: افترض أن المقطع الرأسي العرضي لنفق يعطى بالدالة f، اشرح كيف يمكن حساب حجم النفق باستعمال ${\int }_0^{d}f\left(x\right)dx$ حيث d عرض النفق، إذا كان طوله معلوماً، برر إجابتك.

إجابة ممكنة: يعطي التكامل مساحة كل مقطع عرضي، ونحصل على حجم النفق بضرب هذه المساحة في طول النفق.

33) اكتب: اكتب ملخصاً للخطوات المتبعة لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x على فترة معطاة.

متروك للطالب.

34) تحدٍّ: أوجد ${\int }_0^t(x^2+2)dx$.

$\frac{t^3}{3}+2t$

35) اكتب: وضح إمكانية استعمال المثلثات أو الدوائر في تقريب المساحة تحت المنحنيات، أي الشكلين يعطي تقريباً أفضل برأيك؟

إجابة ممكنة: يعطي المثلث تقريباً جيداً للمساحة، وذلك اعتماداً على شكل المنحنى كما هو مبين أدناه، أما إذا كان للدالة عدة نقاط حرجة، فإنه من الصعب استعمال المثلثات. أما الدوائر فيصعب استعمالها؛ وذلك لأنها تترك مساحات واسعة خارجها؛ لذا فإن المثلثات أسهل للاستعمال عند تقريب المساحة؛ بسبب مرونة التعامل معها مقارنة مع الدوائر.