حل أسئلة تحقق من فهمك

مثل كلاً من الدوال الآتية بيانياً، باستعمال الحاسبة البيانية ثم طبق اختبار الخط الأفقي لتحديد إن كانت الدالة العكسية موجودة أم لا؟

1A) $h\left(x\right)=\frac{4}{x}$

نعم.

1B) $f\left(x\right)=x^2+5x-7$

لا.

في كل مما يأتي أوجد الدالة العكسية F-1 إن أمكن، وحدد مجالها والقيود عليه، وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب غير موجودة.

2A) $f\left(x\right)=-16+x^3$

$\begin{array}{rl}& y=-16+x^3\\ & x=-16+y^3\\ & y^3=x+16\\ & y=\sqrt[3]{x+16}\\ & \therefore f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{x+16}\end{array}$

2B) $f\left(x\right)=\frac{x+7}{x}$

$\begin{array}{rl}& y=\frac{x+7}{x}\\ & x=\frac{y+7}{y}\\ & xy=y+7\\ & xy-y=7\\ & y(x-1)=7\\ & y=\frac{7}{x-1}\\ & \therefore f^{-1}\left(x\right)=\frac{7}{x-1},x\ne 1\end{array}$

2C) $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-20}$

غير موجودة.

أثبت جبرياً أ كلاً من الدالتين g, f تمثل دالة عكسية للأخرى في كل مما يأتي:

3A) $f\left(x\right)=18-3x,g\left(x\right)=6-\frac{x}{3}$

$\begin{array}{rl}f\left(g\right(x\left)\right)& =18-3(6-\frac{x}{3})\\ & =18-18+x\\ & =x\\ g\left(f\right(x\left)\right)& =6-\frac{18-3x}{3}\\ & =6-6+x\\ & =x\end{array}$

3B) $f\left(x\right)=x^2+10,x\ge 0,g\left(x\right)=\sqrt{x-10}$

$\begin{array}{rl}f\left(g\right(x\left)\right)& =(\sqrt{x-10}{)}^2+10\\ & =x-10+10\\ & =x\\ g\left(f\right(x\left)\right)& =\sqrt{x^2+10-10}\\ & =\sqrt{x^2}\\ & =x\end{array}$

استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي لتمثيل الدالة العكسية لها بيانياً:

4A)

4B)

5) توفير: تبقى لأحمد بعد سداد أقساط منزله وبعض الالتزامات %65 من راتبه الشهري، فإذا خصص منها 1800 ريال لنفقات المعيشة، وقدر أن بإمكانه توفير %20 من المبلغ المتبقي تقريباً، فإن مقدار التوفير الشهري يعطى بالدالة: $f\left(x\right)=0.2(0.65x-1800)$ حيث x الراتب الشهري.

5A) أثبت أن f^-1(x) موجودة ثم أوجدها.

$\begin{array}{rl}& y=0.2(0.65x-1800)\\ & x=0.2(0.65y-1800)\\ & x=0.13y-360\\ & y=\frac{x+360}{0.13}\\ & \therefore f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+360}{0.13}\end{array}$

5B) ماذا تمثل كل من x,f^-1(x) في الدالة العكسية؟

في الدالة العكسية تمثل x مقدار التوفير الشهري وتمثل f^-1(x) الراتب الشهري.

5C) حدد أية قيود على كل من مجال f(x), f^-1(x) إن وجدت وبرر إجابتك.

$x\ge 2769.23$

5D) إذا وفر أحمد 500 ريالاً في الشهر، فأوجد راتبه الشهري.

6615.38 ريال تقريباً.