حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل خاصية التوزيع لتحليل كل من كثيرات الحدود الآتية:

١١) ١٦ن - ٤٠ص

١٦ن - ٤٠ص العبارة الأصلية.

١٦ن = ٢× ٢ × ٢ × ٢ × ن حلل كل حد.

- ٤٠ص = - ١ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٥ × ص حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٢× ٢ × ٢ = ٨

١٦ن - ٤٠ص = ٨(ن) + ٨(-٥ص) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

١٦ن - ٤٠ص = ٨(٢ن - ٥ص) خاصية التوزيع.

١٢) ٣٠ف + ٥٠س

٣٠ف + ٥٠س العبارة الأصلية.

٣٠ف = ٢× ٣ × ٥ × ف حلل كل حد.

٥٠س = ٢ × ٥ × ٥ × س حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٢× ٥ = ١٠

٣٠ف + ٥٠س = ١٠(٣ف) + ١٠(٥س) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٣٠ف + ٥٠س = ١٠(٣ف + ٥٠س) خاصية التوزيع.

١٣) ٢ك^٢ + ٤ك

٢ك^٢ + ٤ك العبارة الأصلية.

٢ك^٢ = ٢× ك × ك حلل كل حد.

٤ك = ٢ × ٢ × ك حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٢× ك = ٢ك

٢ك^٢ + ٤ك = ٢ك (ك) + ٢ك (٢) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٢ك^٢ + ٤ك = ٢ك (ك + ٢) خاصية التوزيع.

١٤) ٥ع^٢ + ١٠ع

٥ع^٢ + ١٠ع العبارة الأصلية.

٥ع = ٥× ع × ع حلل كل حد.

١٠ع = ٢ × ٥ × ع حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٥ × ع = ٥ع

٥ع^٢ + ١٠ع = ٥ع (ع) + ٥ع (٢) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٥ع^٢ + ١٠ ع = ٥ع (ع + ٢) خاصية التوزيع.

١٥) ٤أ^٢ ب^٢ + ٢أ^٢ ب - ١٠أ ب^٢

٤أ^٢ ب^٢ + ٢أ^٢ ب - ١٠أ ب^٢ العبارة الأصلية.

٤أ^٢ ب^٢ = ٢ × ٢ × أ × أ × ب × ب

٢أ^٢ ب = ٢ × أ × أ × ب

-١٠أ ب = ٢ × ٥ × أ × ب × ب حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٢ × أ × ب = ٢ أ ب

٤أ^٢ ب^٢ + ٢ أ^٢ ب - ١٠أ ب^٢ =

= ٢أ ب (٢أ ب) + ٢ أ ب (أ) + ٢أ ب (-٥ب) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٤أ^٢ ب^٢ + ٢أ^٢ ب - ١٠أ ب^٢ = ٢أ ب (٢أ ب + أ - ٥ب) خاصية التوزيع.

١٦) ٥جـ^٢ ف - ١٥جـ^٢ ف^٢ + ٥جـ^٢ ف^٣

٥جـ^٢ ف - ١٥جـ^٢ ف^٢ + ٥جـ^٢ ف^٣ العبارة الأصلية.

٥جـ^٢ ف = ٥ × جـ × جـ × ف

-١٥جـ^٢ ف^٢ = ٥ × جـ × جـ × ف × ف

٥جـ^٢ ف^٣ = ٥ × جـ × جـ × ف × ف × ف حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٥ × جـ × جـ × ف = ٥جـ^٢ × ف

٥جـ^٢ ف - ١٥جـ^٢ ف^٢ + ٥جـ^٢ ف^٣ =

= ٥جـ^٢ ف (١) + ٥جـ^٢ ف (-٣ف) + ٥جـ^٢ ف (ف^٢) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٥جـ^٢ ف - ١٥جـ^٢ ف^٢ + ٥جـ^٢ـ ف^٣ = ٥جـ^٢ ف (١ - ٣ف + ف^٢) خاصية التوزيع.

حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية:

١٧) أ^٢ - ٤أ - ٢٤ + ٦أ

أ^٢ - ٤أ - ٢٤ + ٦أ = (أ - ٤أ) + (-٢٤ + ٦أ)

= أ (أ - ٤) + ٦(-٤ + أ)

= أ (أ - ٤) + ٦(أ - ٤)

أ^٢ - ٤أ - ٢٤ + ٦أ = (أ + ٦) (أ - ٤)

١٨) هـ ل - ٢هـ + ٥ل - ١٠

هـ ل - ٢هـ + ٥ل - ١٠ = (هـ ل - ٢هـ) + (٥ل - ١٠)

= هـ (ل - ٢) + ٥(ل - ٢)

هـ ل - ٢هـ + ٥ل - ١٠ = (هـ + ٥) (ل - ٢)

١٩) س ص - ٢س - ٢ + ص

س ص - ٢س - ٢ + ص = (س ص - ٢س) + (-٢ + ص)

= س (ص - ٢) + (١) (ص - ٢)

س ص - ٢س - ٢ + ص = (س + ١) (ص - ٢)

٢٠) ٢٤ن ص - ١٨ن + ٤ص - ٣

٢٤ن ص - ١٨ن + ٤ص - ٣ = (٢٤ن ص - ١٨ن) + (٤ص - ٣)

= ٦ن (٤ص - ٣) + (١) (٤ص - ٣)

٢٤ن ص - ١٨ن + ٤ص - ٣ = (٦ن + ١٩ (٤ص - ٣)

٢١) ٣د ن - ٢١د + ٣٥ - ٥ن

٣د ن - ٢١د + ٣٥ - ٥ن = (٣د ن - ٢١د) + (٣٥ - ٥ن)

= ٣د (ن - ٧) + ٥(٧ - ن)

٣د ن - ٢١د + ٣٥ - ٥ن = (٣د - ٥) (ن - ٧)

٢٢) ٨ر^٢ + ١٢ر

٨ر^٢ + ١٢ر = ٤ر(٢ر) + ٤ر (٣)

٨ر^٢ + ١٢ر = ٤ر (٢ر + ٣)

٢٣) ٢١ن هـ - ٣ن - ٣٥هـ - ٥

٢١ن هـ - ٣ن - ٣٥هـ - ٥ = (٢١ن هـ - ٣ن) + (-٣٥هـ + ٥)

= ٣ن (٧هـ - ١) + ٥(-٧هـ + ١)

= ٣ن (٧هـ - ١) - ٥(٧هـ - ١)

٢١ن هـ - ٣ن - ٣٥هـ - ٥ = (٣ن - ٥) (٧هـ - ١)

٢٤) ل ف + ١٢ل + ٨ف + ٩٦

ل ف + ١٢ل + ٨ف + ٩٦ = (ل ف + ١٢ل) + (٨ف + ٩٦)

= ل (ف + ١٢) + ٨(ف + ١٢)

ل ف + ١٢ل + ٨ف + ٩٦ = (ل + ٨) (ف + ١٢)

٢٥) ٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠

٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠ = (٥ب ر - ٢٥ب) + (٢ر - ١٠)

= ٥ب (ر - ٥) + ٢(ر - ٥)

٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠ = (٥ب + ٢) (ر - ٥)

٢٦) ٢ن و - ٨و + ٣ن - ١٢

٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠ = (٢ن و - ٨و) + (٣ن - ١٢)

= ٢و(ن - ٤) + ٣(ن - ٤)

٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠ = (٢و + ٣) (ن - ٤)

٢٧) ٥جـ ف^٢ + جـ^٢ ف + ١٥جـ ف

٥جـ ف^٢ + جـ^٢ ف + ١٥جـ ف = جـ ف (٥ف) + جـ ف(جـ) + جـ ف (١٥)

٥جـ ف^٢ + جـ^٢ ف + ١٥جـ ف = جـ ف (٥ف + جـ + ١٥)

٢٨) ر ف - ٩ر + ٩ف - ٨١

ر ف - ٩ر + ٩ف - ٨١ = (ر ف - ٩ر) + (٩ف - ٨١)

= ر (ف - ٩) + ٩(ف - ٩)

ر ف - ٩ر + ٩ف - ٨١ = (ر + ٩) (ف - ٩)

٢٩) ١٨ر^٣ ن^٢ + ١٢ر^٢ ن^٢ - ٦ر^٢ ن

١٨ر^٣ ن^٢ + ١٢ر^٢ ن^٢ - ٦ر^٢ ن = ٦ر^٢ ن (٣ر ن) + ٦ر^٢ ن(٢ن) + ٦ر^٢ ن (-١)

١٨ر^٣ ن^٢ + ١٢ر^٢ ن^٢ - ٦ر^٢ ن = ٦ر^٢ ن (٣ر ن + ٢ن - ١)

٣٠) ١٦ جـ هـ + ٤٢جـ - ٢هـ - ٣

١٦ جـ هـ + ٤٢جـ - ٢هـ - ٣ = (١٦جـ هـ + ٢٤جـ) + (-٢هـ - ٣)

= ٨جـ (٢هـ + ٣) - ١(٢هـ + ٣)

١٦ جـ هـ + ٤٢جـ - ٢هـ - ٣ = (٨جـ - ١) (٢هـ + ٣)

حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

٣١) ٣ب (٩ب - ٢٧) = ٠

٣ب (٩ب - ٢٧) = ٠

٣ب = ٠ أو ٩ب - ٢٧ = ٠

ب = ٠ أو ٩ب = ٢٧

ب = ٠ أو ب = ٣

الجذران هما: ٠، ٣

التحقق$\leftarrow$٣(٣) [٩(٣) - ٢٧] = ٩ × ٠ = ٠ C

٣٢) ٢ن (٣ن + ٣) = ٠

٢ن = ٠ أو ٣ن + ٣ = ٠

ن = ٠ أو ٣ن = -٣

ن = ٠ أو ن = -١

الجذران هما: ٠، - ١

التحقق $\leftarrow$٢(-١) [٣(-١) + ٣] = -٢× ٠ = ٠ C

٢× ٠ [٣(٠) + ٣] = ٠ × ٣ = ٠ C

٣٣) (٨ع + ٤) (٥ع + ١٠) = ٠

(٨ع + ٤) (٥ع + ١٠) = ٠

٨ع + ٤ = ٠ أو ٥ع + ١٠ = ٠

٨ع = -٤ أو ٥ع = -١٠

ع = -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أو ع = -٢

الجذران هما: -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ و - ٢

التحقق $\leftarrow$ [٨(-٢) + ٤] [٥(-٢) + ١٠] = (-١٢) (٠) = ٠ C

[٨(-$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$) + ٤] [٥(-$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$) + ١٠] = ٠ × $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢}}$ = ٠ C

٣٤) (٧س + ٣) (٢س - ٦) = ٠

(٧س + ٣) (٢س - ٦) = ٠

٧س + ٣ = ٠ أو ٢س - ٦ = ٠

٧س = -٣ أو ٢س = ٦

س = -$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$ أو س = ٣

الجذران هما: -$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$، ٣

التحقق $\leftarrow$ [٧(٣) + ٣] [٢(٣) - ٦] = (٢٤) (٠) = ٠ C

[٧(-$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$) + ٣] [٢(- $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$) - ٦] = ٠ × -$\frac{\mathrm{٤٨}}{\mathrm{٧}}$ = ٠ C

٣٥) ب^٢ = -٣ب

ب^٢ = -٣ب

ب^٢ + ٣ب = ٠

ب (ب + ٣) = ٠

ب = ٠ أو ب + ٣ = ٠

ب = ٠ أو ب = - ٣

الجذران هما: ٠، - ٣

التحقق $\leftarrow$ (-٣)^٢ = -٣ (-٣) C

٢٠ = -٣ × ٠ C

٣٦) أ^٢ = ٤أ

أ^٢ = ٤أ

أ -٤أ = ٠

أ (أ - ٤) = ٠

أ = ٠ أو أ - ٤ = ٠

أ = ٠ أو أ = ٤

الجذران هما: ٠، ٤

التحقق $\leftarrow$ (٤)^٢ = ٤(٤) C

(٠) = ٤(٠) C

٣٧) فروسية: يمكن تمثيل ارتفاع قفزة فرس في سباق الحواجز بالمعادلة ع = -٥ن + ٥ن؛ حيث (ن) تمثل الزمن بالثواني.

أ) اكتب عبارة تمثل الارتفاع على صورة حاصل ضرب عوامل.

ع = -٥ن^٢ + ٥ن

= ٥ن (-ن + ١)

ب) أوجد قيم ن عندما ع = ٠؟

عندما ع = ٠

٥ن (-ن + ١) = ٠

٥ن = ٠ أو - ن + ١ = ٠

ن = ٠ أو - ن = -١

ن = ٠ أو ن = ١

قيم ن عندما ع = ٠ هي ١، ٠

جـ) ما الارتفاع الذي يكون عليه الفارس بعد ٣ ثوان من بداية القفز؟ وهل هذا ممكن؟ فسر إجابتك.

ع = - ٥ن^٢ + ٥ن

ع = - ٥ × (٣)^٢ + ٥(٣)

ع = - ٥× ٩ + ١٥

ع = -٤٥ + ١٥

ع = - ٣٠

وهذا غير ممكن لأن الارتفاع لا يمكن أن يكون سالب.

٣٨) هندسة عمارة: يمكن تمثيل إطار بوابة بالمعادلة ص = -٠,١س + ١٢س، حيث س، ص بالسنتمتر، ومحور السينات يمر بطرفي القوس على الأرض.

أ) كون جدولاً لارتفاع القوس إذا كان س = ٠، ٢٠، ٤٠، ٦٠، ٨٠، ١٠٠سم.

ص = - ٠,١س^٢ + ١٢س

ب) مثل نقاط الجدول في المستوى الإحداثي، وصل بين النقاط لتكون منحنى يمثل القوس.

جـ) ما أقصى ارتفاع لقوس البوابة؟

ارتفاع القوس = ٣٦٠ سم.

٣٩) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة طريقة الصندوق للتحليل، ممثلاً لتحليل س^٢ + س - ٦، اكتب أول حد في الزاوية اليمنى العليا من الصندوق، ثم اكتب آخر حد في الزاوية السفلى اليسرى.

أ) تحليلياً: حدد عددين ناتج ضربهما -٦، وناتج جمعهما ١.

٣ × - ٢ = -٦

٣ + (-٢) = ١

العاملين هما - ٢، ٣

ب) رمزياً: اكتب كل عامل منهما في المربع الفارغ، متضمناً المتغير وإشارته الموجبة أو السالبة.

جـ) تحليلياً: أوجد عوامل كل صف وعمود في الصندوق، ثم أوجد عوامل س^٢ + س -٦.

د) لفظياً: صف كيف تستعمل طريقة الصندوق لتحليل س - ٣س - ٤٠.

ضع س^٢ في الزاوية العليا اليمني و -٤٠ في الزاوية السفلى اليسرى وحدد أي عاملين ناتج ضربهما - ٤٠ ومجموعهما - ٣ ثم ضع العوامل في الصندوق مع المتغير وأوجد العوامل لكل صف وعمود.

٤٠) اكتشف الخطأ: يحل كل من حمد وراشد المعادلة ٢م = ٤م، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك.

إجابة راشد هي الصحيحة: لأنه لابد أن يجعل أحد طرفي المعادلة صفراً، وأيضاً لا يصح القسمة على متغير لأنه قد تكون قيمة هذا المتغير صفراً.

٤١) مسألة مفتوحة: اكتب كثيرة حدود بأربعة حدود، يمكن تحليلها بتجميع الحدود، ثم حللها.

س^٢ + ٢س ص + ٣س + ٦ص

= (س + ٢س ص) + (٣س + ٦ص) جمع الحدود ذات العوامل المشتركة.

= س (س + ٢ص) + ٣(س + ٢ص) حلل كل عامل بإخراج (ق. م. أ).

= (س + ٣) (س + ٢ص) خاصية التوزيع.

٤٢) تبرير: في المعادلة جـ = أ^٢ - أ ب ما قيم أ، ب التي تجعل جـ = ٠؟

جـ = أ^٢ - أ ب

أ - أ ب = ٠

أ (أ - ب) = ٠

أ = ٠ أو أ - ب = ٠

أ = ٠ أو أ = ب

القيم التي تجعل جـ = ٠ هي: أ = ٠ أو أ = ب لأي عدد حقيقي أ

٤٣) اكتب: وضح كيف تحل معادلة تربيعية باستعمال خاصية الضرب الصفري.

أعيد كتابة المعادلة وأجعل أحد طرفيها صفراً ثم أحلل الطرف الآخر إلى عوامله، وأساوي أي عامل بالصفر، ثم أحل كل معادلة من المعادلتين الناتجتين عن ذلك.

٤٤) أي مما يأتي يمثل عاملاً لكثيرة الحدود: ٦ع - ٣ع - ٢ + ٤ع؟

أ) ٢ع + ١

ب) ٣ع - ٢

جـ) ع + ٢

د) ٢ع - ١

٦ع - ٣ع - ٢ + ٤ع

= ٦ع^٢ + ع - ٢

= (٢ع - ١) (٣ع + ٢)

الاختيار الصحيح د) ٢ع - ١

٤٥) هندسة: إذا كانت مساحة المثلث القائم الزاوية المبين أدناه ٥س سم، فما ارتفاعه؟

أ) ٢سم.

ب) ٥سم.

جـ) ٨سم.

د) ١٠سم.

مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$القاعدة × الارتفاع.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ س × ٢س = ٥س

س^٢ = ٥س

س^٢ -٥س = ٠

س (س- ٥) = ٠

س = ٠ أو س = ٥

الارتفاع لا يمكن أن يساوي صفر إذن = ٥