حلول أسئلة الصف الثالث المتوسط

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى في موقع موقع سبورة - طلاب السعودية

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمال خاصية التوزيع

تدرب وحل المسائل

استعمل خاصية التوزيع لتحليل كل من كثيرات الحدود الآتية:

١١) ١٦ن - ٤٠ص

١٦ن - ٤٠ص العبارة الأصلية.

١٦ن = ٢× ٢ × ٢ × ٢ × ن حلل كل حد.

- ٤٠ص = - ١ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٥ × ص حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٢× ٢ × ٢ = ٨

١٦ن - ٤٠ص = ٨(ن) + ٨(-٥ص) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

١٦ن - ٤٠ص = ٨(٢ن - ٥ص) خاصية التوزيع.

١٢) ٣٠ف + ٥٠س

٣٠ف + ٥٠س العبارة الأصلية.

٣٠ف = ٢× ٣ × ٥ × ف حلل كل حد.

٥٠س = ٢ × ٥ × ٥ × س حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٢× ٥ = ١٠

٣٠ف + ٥٠س = ١٠(٣ف) + ١٠(٥س) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٣٠ف + ٥٠س = ١٠(٣ف + ٥٠س) خاصية التوزيع.

١٣) ٢ك٢ + ٤ك

٢ك٢ + ٤ك العبارة الأصلية.

٢ك٢ = ٢× ك × ك حلل كل حد.

٤ك = ٢ × ٢ × ك حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٢× ك = ٢ك

٢ك٢ + ٤ك = ٢ك (ك) + ٢ك (٢) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٢ك٢ + ٤ك = ٢ك (ك + ٢) خاصية التوزيع.

١٤) ٥ع٢ + ١٠ع

٥ع٢ + ١٠ع العبارة الأصلية.

٥ع = ٥× ع × ع حلل كل حد.

١٠ع = ٢ × ٥ × ع حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٥ × ع = ٥ع

٥ع٢ + ١٠ع = ٥ع (ع) + ٥ع (٢) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٥ع٢ + ١٠ ع = ٥ع (ع + ٢) خاصية التوزيع.

١٥) ٤أ٢ ب٢ + ٢أ٢ ب - ١٠أ ب٢

٤أ٢ ب٢ + ٢أ٢ ب - ١٠أ ب٢ العبارة الأصلية.

٤أ٢ ب٢ = ٢ × ٢ × أ × أ × ب × ب

٢أ٢ ب = ٢ × أ × أ × ب

-١٠أ ب = ٢ × ٥ × أ × ب × ب حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٢ × أ × ب = ٢ أ ب

٤أ٢ ب٢ + ٢ أ٢ ب - ١٠أ ب٢ =

= ٢أ ب (٢أ ب) + ٢ أ ب (أ) + ٢أ ب (-٥ب) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٤أ٢ ب٢ + ٢أ٢ ب - ١٠أ ب٢ = ٢أ ب (٢أ ب + أ - ٥ب) خاصية التوزيع.

١٦) ٥جـ٢ ف - ١٥جـ٢ ف٢ + ٥جـ٢ ف٣

٥جـ٢ ف - ١٥جـ٢ ف٢ + ٥جـ٢ ف٣ العبارة الأصلية.

٥جـ٢ ف = ٥ × جـ × جـ × ف

-١٥جـ٢ ف٢ = ٥ × جـ × جـ × ف × ف

٥جـ٢ ف٣ = ٥ × جـ × جـ × ف × ف × ف حدد العوامل المشتركة.

(ق. م. أ) = ٥ × جـ × جـ × ف = ٥جـ٢ × ف

٥جـ٢ ف - ١٥جـ٢ ف٢ + ٥جـ٢ ف٣ =

= ٥جـ٢ ف (١) + ٥جـ٢ ف (-٣ف) + ٥جـ٢ ف (ف٢) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. م. أ).

٥جـ٢ ف - ١٥جـ٢ ف٢ + ٥جـ٢ـ ف٣ = ٥جـ٢ ف (١ - ٣ف + ف٢) خاصية التوزيع.

حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية:

١٧) أ٢ - ٤أ - ٢٤ + ٦أ

أ٢ - ٤أ - ٢٤ + ٦أ = (أ - ٤أ) + (-٢٤ + ٦أ)

= أ (أ - ٤) + ٦(-٤ + أ)

= أ (أ - ٤) + ٦(أ - ٤)

أ٢ - ٤أ - ٢٤ + ٦أ = (أ + ٦) (أ - ٤)

١٨) هـ ل - ٢هـ + ٥ل - ١٠

هـ ل - ٢هـ + ٥ل - ١٠ = (هـ ل - ٢هـ) + (٥ل - ١٠)

= هـ (ل - ٢) + ٥(ل - ٢)

هـ ل - ٢هـ + ٥ل - ١٠ = (هـ + ٥) (ل - ٢)

١٩) س ص - ٢س - ٢ + ص

س ص - ٢س - ٢ + ص = (س ص - ٢س) + (-٢ + ص)

= س (ص - ٢) + (١) (ص - ٢)

س ص - ٢س - ٢ + ص = (س + ١) (ص - ٢)

٢٠) ٢٤ن ص - ١٨ن + ٤ص - ٣

٢٤ن ص - ١٨ن + ٤ص - ٣ = (٢٤ن ص - ١٨ن) + (٤ص - ٣)

= ٦ن (٤ص - ٣) + (١) (٤ص - ٣)

٢٤ن ص - ١٨ن + ٤ص - ٣ = (٦ن + ١٩ (٤ص - ٣)

٢١) ٣د ن - ٢١د + ٣٥ - ٥ن

٣د ن - ٢١د + ٣٥ - ٥ن = (٣د ن - ٢١د) + (٣٥ - ٥ن)

= ٣د (ن - ٧) + ٥(٧ - ن)

٣د ن - ٢١د + ٣٥ - ٥ن = (٣د - ٥) (ن - ٧)

٢٢) ٨ر٢ + ١٢ر

٨ر٢ + ١٢ر = ٤ر(٢ر) + ٤ر (٣)

٨ر٢ + ١٢ر = ٤ر (٢ر + ٣)

٢٣) ٢١ن هـ - ٣ن - ٣٥هـ - ٥

٢١ن هـ - ٣ن - ٣٥هـ - ٥ = (٢١ن هـ - ٣ن) + (-٣٥هـ + ٥)

= ٣ن (٧هـ - ١) + ٥(-٧هـ + ١)

= ٣ن (٧هـ - ١) - ٥(٧هـ - ١)

٢١ن هـ - ٣ن - ٣٥هـ - ٥ = (٣ن - ٥) (٧هـ - ١)

٢٤) ل ف + ١٢ل + ٨ف + ٩٦

ل ف + ١٢ل + ٨ف + ٩٦ = (ل ف + ١٢ل) + (٨ف + ٩٦)

= ل (ف + ١٢) + ٨(ف + ١٢)

ل ف + ١٢ل + ٨ف + ٩٦ = (ل + ٨) (ف + ١٢)

٢٥) ٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠

٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠ = (٥ب ر - ٢٥ب) + (٢ر - ١٠)

= ٥ب (ر - ٥) + ٢(ر - ٥)

٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠ = (٥ب + ٢) (ر - ٥)

٢٦) ٢ن و - ٨و + ٣ن - ١٢

٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠ = (٢ن و - ٨و) + (٣ن - ١٢)

= ٢و(ن - ٤) + ٣(ن - ٤)

٥ب ر - ٢٥ب + ٢ر - ١٠ = (٢و + ٣) (ن - ٤)

٢٧) ٥جـ ف٢ + جـ٢ ف + ١٥جـ ف

٥جـ ف٢ + جـ٢ ف + ١٥جـ ف = جـ ف (٥ف) + جـ ف(جـ) + جـ ف (١٥)

٥جـ ف٢ + جـ٢ ف + ١٥جـ ف = جـ ف (٥ف + جـ + ١٥)

٢٨) ر ف - ٩ر + ٩ف - ٨١

ر ف - ٩ر + ٩ف - ٨١ = (ر ف - ٩ر) + (٩ف - ٨١)

= ر (ف - ٩) + ٩(ف - ٩)

ر ف - ٩ر + ٩ف - ٨١ = (ر + ٩) (ف - ٩)

٢٩) ١٨ر٣ ن٢ + ١٢ر٢ ن٢ - ٦ر٢ ن

١٨ر٣ ن٢ + ١٢ر٢ ن٢ - ٦ر٢ ن = ٦ر٢ ن (٣ر ن) + ٦ر٢ ن(٢ن) + ٦ر٢ ن (-١)

١٨ر٣ ن٢ + ١٢ر٢ ن٢ - ٦ر٢ ن = ٦ر٢ ن (٣ر ن + ٢ن - ١)

٣٠) ١٦ جـ هـ + ٤٢جـ - ٢هـ - ٣

١٦ جـ هـ + ٤٢جـ - ٢هـ - ٣ = (١٦جـ هـ + ٢٤جـ) + (-٢هـ - ٣)

= ٨جـ (٢هـ + ٣) - ١(٢هـ + ٣)

١٦ جـ هـ + ٤٢جـ - ٢هـ - ٣ = (٨جـ - ١) (٢هـ + ٣)

حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

٣١) ٣ب (٩ب - ٢٧) = ٠

٣ب (٩ب - ٢٧) = ٠

٣ب = ٠ أو ٩ب - ٢٧ = ٠

ب = ٠ أو ٩ب = ٢٧

ب = ٠ أو ب = ٣

الجذران هما: ٠، ٣

التحقق٣(٣) [٩(٣) - ٢٧] = ٩ × ٠ = ٠ C

٣٢) ٢ن (٣ن + ٣) = ٠

٢ن = ٠ أو ٣ن + ٣ = ٠

ن = ٠ أو ٣ن = -٣

ن = ٠ أو ن = -١

الجذران هما: ٠، - ١

التحقق ٢(-١) [٣(-١) + ٣] = -٢× ٠ = ٠ C

٢× ٠ [٣(٠) + ٣] = ٠ × ٣ = ٠ C

٣٣) (٨ع + ٤) (٥ع + ١٠) = ٠

(٨ع + ٤) (٥ع + ١٠) = ٠

٨ع + ٤ = ٠ أو ٥ع + ١٠ = ٠

٨ع = -٤ أو ٥ع = -١٠

ع = -١٢ أو ع = -٢

الجذران هما: -١٢ و - ٢

التحقق [٨(-٢) + ٤] [٥(-٢) + ١٠] = (-١٢) (٠) = ٠ C

[٨(-١٢) + ٤] [٥(-١٢) + ١٠] = ٠ × ١٥٢ = ٠ C

٣٤) (٧س + ٣) (٢س - ٦) = ٠

(٧س + ٣) (٢س - ٦) = ٠

٧س + ٣ = ٠ أو ٢س - ٦ = ٠

٧س = -٣ أو ٢س = ٦

س = -٣٧ أو س = ٣

الجذران هما: -٣٧، ٣

التحقق [٧(٣) + ٣] [٢(٣) - ٦] = (٢٤) (٠) = ٠ C

[٧(-٣٧) + ٣] [٢(- ٣٧) - ٦] = ٠ × -٤٨٧ = ٠ C

٣٥) ب٢ = -٣ب

ب٢ = -٣ب

ب٢ + ٣ب = ٠

ب (ب + ٣) = ٠

ب = ٠ أو ب + ٣ = ٠

ب = ٠ أو ب = - ٣

الجذران هما: ٠، - ٣

التحقق (-٣)٢ = -٣ (-٣) C

٢٠ = -٣ × ٠ C

٣٦) أ٢ = ٤أ

أ٢ = ٤أ

أ -٤أ = ٠

أ (أ - ٤) = ٠

أ = ٠ أو أ - ٤ = ٠

أ = ٠ أو أ = ٤

الجذران هما: ٠، ٤

التحقق (٤)٢ = ٤(٤) C

(٠) = ٤(٠) C

٣٧) فروسية: يمكن تمثيل ارتفاع قفزة فرس في سباق الحواجز بالمعادلة ع = -٥ن + ٥ن؛ حيث (ن) تمثل الزمن بالثواني.

أ) اكتب عبارة تمثل الارتفاع على صورة حاصل ضرب عوامل.

ع = -٥ن٢ + ٥ن

= ٥ن (-ن + ١)

ب) أوجد قيم ن عندما ع = ٠؟

عندما ع = ٠

٥ن (-ن + ١) = ٠

٥ن = ٠ أو - ن + ١ = ٠

ن = ٠ أو - ن = -١

ن = ٠ أو ن = ١

قيم ن عندما ع = ٠ هي ١، ٠

جـ) ما الارتفاع الذي يكون عليه الفارس بعد ٣ ثوان من بداية القفز؟ وهل هذا ممكن؟ فسر إجابتك.

ع = - ٥ن٢ + ٥ن

ع = - ٥ × (٣)٢ + ٥(٣)

ع = - ٥× ٩ + ١٥

ع = -٤٥ + ١٥

ع = - ٣٠

وهذا غير ممكن لأن الارتفاع لا يمكن أن يكون سالب.

٣٨) هندسة عمارة: يمكن تمثيل إطار بوابة بالمعادلة ص = -٠,١س + ١٢س، حيث س، ص بالسنتمتر، ومحور السينات يمر بطرفي القوس على الأرض.

أ) كون جدولاً لارتفاع القوس إذا كان س = ٠، ٢٠، ٤٠، ٦٠، ٨٠، ١٠٠سم.

ص = - ٠,١س٢ + ١٢س

س ٠ ٢٠ ٤٠ ٦٠ ٨٠ ١٠٠
ص ٠ ٢٠٠ ٣٢٠ ٣٦٠ ٣٢٠ ٢٠٠

ب) مثل نقاط الجدول في المستوى الإحداثي، وصل بين النقاط لتكون منحنى يمثل القوس.

مستوى إحداثيات

جـ) ما أقصى ارتفاع لقوس البوابة؟

ارتفاع القوس = ٣٦٠ سم.

٣٩) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة طريقة الصندوق للتحليل، ممثلاً لتحليل س٢ + س - ٦، اكتب أول حد في الزاوية اليمنى العليا من الصندوق، ثم اكتب آخر حد في الزاوية السفلى اليسرى.

جدول

أ) تحليلياً: حدد عددين ناتج ضربهما -٦، وناتج جمعهما ١.

٣ × - ٢ = -٦

٣ + (-٢) = ١

العاملين هما - ٢، ٣

ب) رمزياً: اكتب كل عامل منهما في المربع الفارغ، متضمناً المتغير وإشارته الموجبة أو السالبة.

جدول

جـ) تحليلياً: أوجد عوامل كل صف وعمود في الصندوق، ثم أوجد عوامل س٢ + س -٦.

جدول

د) لفظياً: صف كيف تستعمل طريقة الصندوق لتحليل س - ٣س - ٤٠.

ضع س٢ في الزاوية العليا اليمني و -٤٠ في الزاوية السفلى اليسرى وحدد أي عاملين ناتج ضربهما - ٤٠ ومجموعهما - ٣ ثم ضع العوامل في الصندوق مع المتغير وأوجد العوامل لكل صف وعمود.

مسائل مهارات التفكير العليا

٤٠) اكتشف الخطأ: يحل كل من حمد وراشد المعادلة ٢م = ٤م، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك.

مثال - اكتشف الخطأ

إجابة راشد هي الصحيحة: لأنه لابد أن يجعل أحد طرفي المعادلة صفراً، وأيضاً لا يصح القسمة على متغير لأنه قد تكون قيمة هذا المتغير صفراً.

٤١) مسألة مفتوحة: اكتب كثيرة حدود بأربعة حدود، يمكن تحليلها بتجميع الحدود، ثم حللها.

س٢ + ٢س ص + ٣س + ٦ص

= (س + ٢س ص) + (٣س + ٦ص) جمع الحدود ذات العوامل المشتركة.

= س (س + ٢ص) + ٣(س + ٢ص) حلل كل عامل بإخراج (ق. م. أ).

= (س + ٣) (س + ٢ص) خاصية التوزيع.

٤٢) تبرير: في المعادلة جـ = أ٢ - أ ب ما قيم أ، ب التي تجعل جـ = ٠؟

جـ = أ٢ - أ ب

أ - أ ب = ٠

أ (أ - ب) = ٠

أ = ٠ أو أ - ب = ٠

أ = ٠ أو أ = ب

القيم التي تجعل جـ = ٠ هي: أ = ٠ أو أ = ب لأي عدد حقيقي أ

٤٣) اكتب: وضح كيف تحل معادلة تربيعية باستعمال خاصية الضرب الصفري.

أعيد كتابة المعادلة وأجعل أحد طرفيها صفراً ثم أحلل الطرف الآخر إلى عوامله، وأساوي أي عامل بالصفر، ثم أحل كل معادلة من المعادلتين الناتجتين عن ذلك.

تدريب على اختبار

٤٤) أي مما يأتي يمثل عاملاً لكثيرة الحدود: ٦ع - ٣ع - ٢ + ٤ع؟

أ) ٢ع + ١

ب) ٣ع - ٢

جـ) ع + ٢

د) ٢ع - ١

٦ع - ٣ع - ٢ + ٤ع

= ٦ع٢ + ع - ٢

= (٢ع - ١) (٣ع + ٢)

الاختيار الصحيح د) ٢ع - ١

٤٥) هندسة: إذا كانت مساحة المثلث القائم الزاوية المبين أدناه ٥س سم، فما ارتفاعه؟

مثلث

أ) ٢سم.

ب) ٥سم.

جـ) ٨سم.

د) ١٠سم.

مساحة المثلث = ١٢القاعدة × الارتفاع.

١٢ س × ٢س = ٥س

س٢ = ٥س

س٢ -٥س = ٠

س (س- ٥) = ٠

س = ٠ أو س = ٥

الارتفاع لا يمكن أن يساوي صفر إذن = ٥

حلول أسئلة الصف الثالث المتوسط

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى في موقع موقع سبورة - طلاب السعودية

النقاشات