حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية":

٨) ٥س^٢ + ٣٤س + ٢٤

٥س^٢ + ٣٤س + ٢٤

أ = ٥، ب = ٣٤، جـ = ٢٤

أجد عددين ناتج ضربهما ٥ × ٢٤ = ١٢٠ ومجموعهما ٣٤

٣٠ × ٤ = ١٢٠، ٣٠ + ٤ = ٣٤

٥س^٢ + ٣٤س + ٢٤ = ٥س^٢ + ٣٠س + ٤س + ٢٤

= (٥س + ٣٠س) + (٤س + ٢٤)

= ٥س (س + ٦) + ٤(س + ٦)

= (س + ٦) (٥س + ٤)

٩) ٤س^٢ + ٣٨س + ٧٠

٤س^٢ + ٣٨س + ٧٠

أ = ٤، ب = ٣٨، جـ = ٧٠

أجد عددين ناتج ضربهما ٤ × ٧٠ = ٢٨٠ ومجموعهما ٣٨

٢٨ × ١٠ = ٢٨٠، ٢٨ + ١٠٤ = ٣٨

٤س^٢ + ٣٨س + ٧٠ = ٤س^٢ + ٢٨س + ١٠س + ٧٠

= (٤س^٢ + ٢٨س) + (١٠س + ٧٠)

= ٤س (س + ٧) + ١٠(س + ٧)

= (٤س + ١٠) + (س + ٧)

= ٢(٢س + ٥) (س + ٧)

١٠) ٢س^٢ - ٣س - ٩

٢س^٢ - ٣س - ٩

أ = ٢، ب = -٣، جـ = -٩

أجد عددين ناتج ضربهما ٢ × -٩ = -١٨ ومجموعهما -٣

-٦ × ٣ = -١٨، -٦ + ٣ = -٣

٢س^٢ - ٣س - ٩ = ٢س^٢ -٦س + ٣س - ٩

= (٢س - ٦س) + (٣س - ٩)

= ٢س (س - ٣) + ٣(س - ٣)

= (س - ٣) (س + ٣)

١١) ٤س^٢ - ١٣س + ١٠

٤س^٢ - ١٣س + ١٠

أ = ٤، ب = -١٣، جـ = ١٠

أجد عددين ناتج ضربهما ٤ × ١٠ = ٤٠ ومجموعهما -١٣

-٨ × -٥ = ٤٠ ومجموعهما - ١٣

٤س^٢ - ١٣س + ١٠ = ٤س^٢ - ٨س - ٥س + ١٠

= (٤س^٢ - ٨س) + (- ٥س + ١٠)

= ٤س (س - ٢) +٥(-س + ٢)

= ٤س (س - ٢) - ٥(س - ٢)

= (س - ٢) (٤س -٥)

١٢) ٢س^٢ + ٣س + ٦

٢س^٢ + ٣س + ٦

أ = ٢، ب = ٣، جـ = ٦

أجد عددين ناتج ضربهما ٢ × ٦ = ١٢ ومجموعهما ٣

لا يوجد عاملان حاصل ضربهما ١٢ ومجموعهما ٣

لذا ٢س^٢ + ٣س + ٦ أولية.

١٣) ١٢س^٢ + ٦٩س + ٤٥

١٢س^٢ + ٦٩س + ٤٥

أ = ١٢، ب = ٦٩، جـ = ٥٦

أجد عددين ناتج ضربهما ١٢ × ٤٥ = ٥٤٠ ومجموعهما ٦٩

٦٠ × ٩ = ٤٥٠، ٦٠ + ٩ = ٦٩

١٢س^٢ + ٦٩س + ٤٥ = ١٢س^٢ +٦٠س + ٩س + ٤٥

= (١٢س^٢ + ٦٠س) + (٩س + ٥)

= (س + ٥) (١٢س + ٩)

= ٣(س + ٥) (٤س + ٣)

١٤) ٤س^٢ - ٥س + ٧

٤س^٢ - ٥س + ٧

أ = ٤، ب = -٥، جـ = ٧

أجد عددين ناتج ضربهما ٤ × ٧ = ٢٨ ومجموعهما - ٥

لا يوجد عاملان حاصل ضربهما ٢٨ ومجموعهما - ٥

لذا ٤س^٢ - ٥س + ٧ أولية.

١٥) ٥س^٢ + ٢٣س + ٢٤

٥س^٢ + ٢٣س + ٢٤

أ = ٥، ب = ٢٣، جـ = ٢٤

أجد عددين ناتج ضربهما ٥ × ٢٤ = ١٢٠ ومجموعهما ٢٣

١٥ × ٨ = ١٢٠، ١٥ + ٨ = ٢٣

٥س^٢ + ٢٣س + ٢٤ = ٥س^٢ +١٥س + ٨س + ٢٤

= (٥س^٢ +١٥س) + (٨س + ٢٤)

= ٥س (س + ٣) + ٨(س + ٣)

= (س + ٣) (٥س + ٨)

١٦) ٣س^٢ - ٨س + ١٥

٣س^٢ - ٨س + ١٥

أ = ٣، ب = -٨، جـ = ١٥

أجد عددين ناتج ضربهما ٣ × ١٥ = ٤٥ ومجموعهما -٨

لا يوجد عاملان حاصل ضربهما ٤٥ ومجموعهما - ٨

لذا ٣س^٢ - ٨س + ١٥ أولية

١٧) صيد: أطلق صياد طلقة نارية ارتفاعها تمثله المعادلة ع = - ٥ن + ٩ن + ٢، بعد كم ثانية تصل الطلقة إلى الأرض؟

ع = -٥ن^٢ + ٩ن + ٢

٠ = -٥ن^٢ + ٩ن + ٢

٥ن^٢ - ٩ن - ٢ = ٠

(٥ن + ١) (ن - ٢) = ٠

٥ن + ١ = ٠ أو ن - ٢ = ٠

٥ن = -١ أو ن = ٢

ن = -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$ أو ن = ٢

تصل الطلقة إلى الأرض بعد ٢ ثانية.

حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل:

١٨) ٢س^٢ +٩س - ١٨ = ٠

٢س^٢ +٩س - ١٨ = ٠

(٢س - ٣) (س + ٦) = ٠

٢س - ٣ = ٠ أو س + ٦ = ٠

٢س = ٣، س = -٦

س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، س = - ٦

الجذران هما: $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، -٦

التحقق: $\leftarrow$ ٢($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٢ + ٩($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$) - ١٨ = ٠ C

٢(-٦)^٢ + ٩(-٦) -١٨ = ٠ C

١٩) ٤س^٢ + ١٧س + ١٥ = ٠

٤س^٢ + ١٧س + ١٥ = ٠

(٤س + ٥) (س + ٣) = ٠

٤س + ٥ = ٠ أو س + ٣ = ٠

٤س = -٥، س = -٣

س = -$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$، س = - ٣

الجذران هما: -$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$، -٣

التحقق: $\leftarrow$ ٤(-$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$)^٢ - ١٧(-$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$) + ١٥ = ٠ C

٤(-٣)^٢ - ١٧(-٣) + ١٥ = ٠ C

٢٠) -٣س^٢ + ٢٦س = ١٦

-٣س^٢ + ٢٦س = ١٦

٣س^٢ - ٢٦س + ١٦ = ٠

(٣س - ٢) (س - ٨) = ٠

٣س - ٢ = ٠ أو س - ٨ = ٠

٣س = ٢، س = ٨

س = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$، س = ٨

الجذران هما: $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$، ٨

التحقق: $\leftarrow$ -٣($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^٢ + ٢٦($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$) = ٠ C

-٣(٨)^٢ + ٢٦(٨) = ٠ C

٢١) -٢س^٢ + ١٣س = ١٥

-٢س^٢ + ١٣س = ٥

٢س^٢ - ١٣س + ١٥ = ٠

(٢س - ٣) (س - ٥) = ٠

٢س - ٣ = ٠ أو س - ٥ = ٠

٢س = ٣، س = ٥

س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، س = ٥

الجذران هما: $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، ٨

التحقق: $\leftarrow$ -٢($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٢ + ١٣($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$) = ٠ C

٢(٥)^٢ + ١٣(٥) = ٠ C

٢٢) -٣س^٢ + ٥س = -٢

-٣س^٢ + ٥س = -٢

٣س^٢ - ٥س - ٢ = ٠

(٣س + ١) (س - ٢) = ٠

٣س + ١ = ٠ أو س - ٢ = ٠

٣س = -١، س = ٢

س = -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، س = ٢

الجذران هما: -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، ٢

التحقق: $\leftarrow$ -٣(-$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$)^٢ + ٥($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$) = -٢ C

-٣(٢)^٢ + ٥(٢) = -٢ C

٢٣) -٤س^٢ + ١٩س = -٣٠

-٤س^٢ + ١٩س = -٣٠

٤س^٢ - ١٩س - ٣٠ = ٠

(٣س + ١) (س - ٢) = ٠

٣س + ١ = ٠ أو س - ٢ = ٠

٣س = -١، س = ٢

س = -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، س = ٢

الجذران هما: -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، ٢

التحقق: $\leftarrow$ -٣(-$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$)^٢ + ٥($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$) = -٢ C

-٣(٢)^٢ + ٥(٢) = -٢ C

٢٤) نظرية الأعداد: ستة أمثال مربع العدد س مضافاً إليها ١١ مثلاً للعدد يساوي ٢، ما القيم الممكنة لـ س؟

٦س^٢ + ١١س = ٢

٦س^٢ + ١١س - ٢ = ٠

(٦س -١) (س + ٢) = ٠

٦س -١ = ٠ أو س + ٢ = ٠

٦س =١ أو س = -٢

س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$، س = -٢

قيم س الممكنة هي: $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$، -٢

حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية":

٢٥) -٦س^٢ - ٢٣س - ٢٠

-٦س^٢ - ٢٣س - ٢٠ = -٦س^٢ -١٥س - ٨س - ٢٠

= - [(٦س^٢ +١٥س) + (٨س + ٢٠)]

= - [٣س (٢س + ٥) + ٤(٢س + ٥)]

= - [(٣س + ٤) (٢س + ٥)]

٢٦) -٤س^٢ - ١٥س - ١٤

-٤س^٢ - ١٥س - ١٤ = -٤س^٢ +١٠س + ٢١س - ٣٥

= - [(٤س^٢ +٨ س) + (٧س + ١٤)]

= - [٤س(س + ٢) + ٧(س + ٢)]

= - [ (٤س + ٧) (٢س + ٢)]

٢٧) -٥س^٢ + ١٨س + ٨

-٥س^٢ + ١٨س + ٨ = -٥س^٢ + ٢٠س - ٢س + ٨

= - [(٥س^٢ -٢٠ س) + (٢س - ٨)]

= - [٥س (س - ٤) + ٢(س - ٤)]

= - [(٥س + ٢) (٢س - ٤)]

٢٨) -٦س^٢ + ٣١س - ٣٥

-٦س^٢ + ٣١س - ٣٥ = -٦س^٢ +١٠س + ٢١س - ٣٥

= - [(٦س^٢ -١٠ س) + (-٢١س + ٣٥)]

= - [٢س (٣س - ٥) + ٧(٣س - ٥)]

= - [(٢س - ٧) (٣س - ٥)]

٢٩) -٤س^٢ + ٥س - ١٢

-٤س^٢ + ٥س - ١٢ لا يوجد عددان حاصل ضربهما ٤٨ ومجموعهما ٥

لذا: -٤س^٢ + ٥س - ١٢ أولية.

٣٠) -١٢س^٢ + س + ٢٠

-١٢س^٢ + س + ٢٠ = -١٢س^٢ +١٦ س -١٥س + ٢٠

= - [(١٢س^٢ -١٦ س) + (١٥س - ٢٠)]

= - [٤س (٣س - ٤) + ٥(٣س - ٤)]

= - [(٤س + ٥) (٣س - ٤)]

٣١) تخطيط: خططت بلدية إحدى المدن لبناء منتزه جديد مستطيل الشكل، يمكن التعبير عن مساحته بالعبارة: ٦٦٠س^٢ + ٥٢٤س + ٨٥، هذه العبارة لإيجاد ثنائيتي حد بمعاملات أعداد صحيحة تمثل البعدين الممكنين للمنتزه، وإذا كانت س = ٨، فما محيط المنتزه؟

٦٦٠س^٢ + ٥٢٤س + ٨٥ = ٦٦٠س^٢ + ١٥٠س + ٣٧٤ + ٨٥

= (٦٦٠س^٢ + ١٥٠س) + (٣٧٤ + ٨٥)

= ٢٠س (٢٢س + ٥) + ١٧(٢٢س + ٥)

= (٣٠س + ١٧) (٢٢س + ٥)

بعدا المنتزه هما: ٣٠س + ١٧، ٢٢س + ٥

محيط المنتزه = ٢(٣٠س^٢ + ١٧) + (٢٢س + ٥)

= ٢(٥٢س + ٢٢) = ١٠٤س + ٤٤

= ١٠٤(٨) + ٤٤ = ٨٣٢ + ٤٤

محيط المنتزه = ٨٧٦ وحدة طول.

٣٢) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة، تحليل أنواع خاصة من كثيرات الحدود.

أ) هندسياً ضلعه أ، ثم ارسم داخله مربعاً أصغر يشترك معه في أحد الرؤوس، طول ضلعه ب، ما مساحة كل من المربعين؟

• مساحة المربع الكبير = طول الضلع في نفسه = أ × أ = أ^٢
• مساحة المربع الصغير = طول الضلع × نفسه = ب × ب = ب^٢

ب) هندسياً: قص المربع الصغير، ما مساحة المنطقة الباقية؟

مساحة المنطقة الباقية = أ^٢ - ب^٢

جـ) تحليلياً: ارسم خطاً قطرياً بين رأس المربع الكبير ورأس المربع الصغير في الشكل المتبقي، وقص على طول هذا الخط للحصول على قطعتين متطابقتين، ثم أعد كتابة ترتيب القطعتين لتشكلا مستطيلاً، ما بعدا المستطيل الناتج؟

بعدا المستطيل = (أ - ب) (أ + ب)

د) تحليلياً: اكتب مساحة المستطيل على صورة ناتج ضرب ثنائيتي حد.

مساحة المستطيل = (أ - ب) (أ + ب)

هـ) لفظياً: أكمل العبارة أ^٢ - ب^٢ = .... لماذا هذه العبارة صحيحة؟

أ^٢ - ب^٢ = (أ - ب) (أ + ب)

٣٣) اكتشف الخطأ: حل كل من زكريا وسامي المعادلة ٦س - س = ١٢، فأيهما صحيحة؟ فسر ذلك.

إجابة زكريا هي الصحيحة لأنه أعاد كتابة المعادلة بحيث أحد طرفيها يساوي الصفر ثم استخدم خاصية الضرب الصفري.

٣٤) مسألة مفتوحة: اكتب معادلة تربيعية معاملات حدودها أعداد صحيحة على أن يكون: $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ حلين لها، فسر ذلك.

١٠س + س -٣ = ٠

(٥س + ٣) (٢س -١) = ٠

٥س + ٣ = ٠ أو ٢س -١ = ٠

٥س = -٣، ٢س = ١

س = $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$، س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

٣٥) اكتب: فسر كيف تحدد القيم التي يجب اختيارها لـ م و ن عند تحليل كثير الحدود على الصورة أس^٢ + ب س + جـ

أوجد عددين م، ن يحققان الشرطين م ن = أ جـ، م + ن = ب

٣٦) إجابة قصيرة: لدى سلمى أختان: إحداهما أكبر منها بـ ٨ سنوات، والأخرى أصغر منها بسنتين، وناتج ضرب عمري أختيهما ٥٦. فكم سنة عمر سلمى؟

نفرض أم عمر سلمى = س

الأولى = س + ٨

الثانية = س - ٢

(س + ٨) (س - ٢) = ٥٦

س^٢ -٢س + ٨س - ١٦ = ٥٦

س^٢ + ٦س - ١٦ - ٥٦ = ٠

س^٢ + ٦س - ٧٢ = ٠

(س - ٦) (س + ١٢) = ٠

س - ٦ = ٠ إذن س = ٦

إذن عمر سلمى = ٦ سنوات.

٣٧) ما مجموعة حل المعادلة س^٢ + ٢س - ٢٤ = ٠؟

أ) {-٤، ٦}

ب) {٣، -٨}

جـ) {-٣، ٨}

د) {٤، -٦}

س + ٢س - ٢٤ = ٠

(س - ٤) (س + ٦) = ٠

س - ٤ = ٠ إذن س = ٤

س + ٦ = ٠ إذن س = -٦

الاختيار الصحيح د) {٤، -٦}