حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد طول الضلع المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم الأمر:

٨)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢١٢ = ^٢٢ + ب^٢

١٤٤ = ٤ + ب^٢

ب^٢ = ١٤٤ - ٤

ب^٢ = ١٤٠

ب = $\sqrt{\mathrm{١٤٠}}$

ب = ١١,٨٣

٩)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = ^٢٢٠ + $\sqrt{{\mathrm{١١}}^{\mathrm{٢}}}$

جـ^٢ = ٤٠٠ + ١١

جـ = ٤١١

جـ = $\sqrt{\mathrm{٤١١}}$

جـ = ٢٠,٢٧

١٠)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٢٦ = ^٢١٦ + ب^٢

٢٧٦ = ٢٥٦ + ب^٢

ب^٢ = ٤٢٠

ب = $\sqrt{\mathrm{٤٢٠}}$

ب = ٢٠,٤٩

١١)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = ($\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٢ + ($\sqrt{\mathrm{٢٣}}$)^٢

جـ^٢ = ٥ + ٢٣

جـ^٢ = ٢٨

جـ = $\sqrt{\mathrm{٢٨}}$

جـ = ٥,٢٩

١٢)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٢٥ = (٧)^٢ + أ^٢

^٢٦٢٥ = ^٢٤٩ + أ^٢

أ^٢ = ٥٧٦

أ = $\sqrt{\mathrm{٥٧٦}}$

أ = ٢٤

١٣)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

($\sqrt{\mathrm{٣٥}}$)^٢ = أ^٢ + ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^٢

أ^٢ = ($\sqrt{\mathrm{٣٥}}$)^٢ - ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^٢

أ^٢ = ٣٢

أ = $\sqrt{\mathrm{٣٢}}$

أ = ٥,٦٦

١٤) تلفاز: أراد مهند شراء طاولة مستطيلة يضع عليها تلفازاً، قطر قاعدته ٢٧ بوصة، فإذا كان بعدا الطاولة ٢٠ بوصة و٢٦ بوصة، فهل تناسب الطاولة التلفاز؟ فسر إجابتك.

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = ^٢٢٠ + ^٢٢٦

جـ = $\sqrt{ \mathrm{١٠٧٦} }$

جـ = ٣٢,٨

نعم، قطر الطاولة ٣٢,٨ بوصة لذا فهي مناسبة للتلفاز.

حدد إذا كانت كل مجموعة من الأطوال الآتية تشكل أضلاع مثلث قائم أم لا، ثم حدد إذا كانت تشكل ثلاثية فيثاغورس:

١٥) ٩، ٤٠، ٤١

بما أن جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٤١ = ^٢٩ + ^٢٤٠

١٦٨١ = ٨١ + ١٦٠٠

١٦٨١ = ١٦٨١

نعم.

١٦) ٣، ٢$\sqrt{\mathrm{١٠}}$، $\sqrt{\mathrm{٤١}}$

بما أن جـ^٢ $\ne$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\ne$ ب^٢ + أ^٢

(٣)^٢ = (٢$\sqrt{\mathrm{١٠}}$)^٢ + ($\sqrt{\mathrm{٤١}}$)^٢

٩ = ٤٠ + ٤١

٩ $\ne$ ٨١

لا.

١٧) $\sqrt{\mathrm{٥}}$، ٧، ١٤

بما أن جـ^٢ $\ne$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\ne$ ب^٢ + أ^٢

(١٤)^٢ = ($\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٢ + (٧)^٢

١٩٦ = ٥ + ٤٩

١٩٦ $\ne$ ٥٤

لا.

١٨) ٥,٨، ٥,٣١، ٣٢

بما أن جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(٣٢,٥)^٢ = (٣١،٥)^٢ + (٨)^٢

١٠٥٦,٢٥ = ١٠٥٦,٢٥

نعم، لا.

١٩) $\sqrt{\mathrm{٦٥}}$، ٦$\sqrt{\mathrm{٢}}$، $\sqrt{\mathrm{٩٧}}$

بما أن جـ^٢ $\ne$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\ne$ ب^٢ + أ^٢

($\sqrt{\mathrm{٩٧}}$)^٢ = ($\sqrt{\mathrm{٦٥}}$)^٢ + ( ٦$\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢

٩٧ = ٦٥ + ٧٢

٩٧ $\ne$١٣٧

لا، لا.

٢٠) ١٧، ٣٣، ٩٨

بما أن جـ^٢ $\ne$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\ne$ ب^٢ + أ^٢

(٩٨)^٢ = (٣٣)^٢ + (١٧)^٢

٩٦٠٤ = ١٠٨٩ + ٢٨٩

٩٦٠٤ $\ne$ ١٣٧٨

لا، لا.

٢١) هندسة: أجب عن الأسئلة الآتية اعتماداً على المثلث المجاور:

أ) ما قيمة س؟

(٢٣)^٢ = (١١)^٢ + (س)^٢

(٢٣)^٢ - (١١)^٢ = س^٢

٤٠٨ = س^٢

س = ٢٠,٢٠

ب) ما مساحة المثلث؟

مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ طول القاعدة × الارتفاع:

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٢,٢ × ١١ = ١١١,١١ وحدة مربعة.

أوجد طول الوتر في المثلثين الآتيين وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة:

٢٢)

(جـ)^٢ = (٧)^٢ + (١٠)^٢

(جـ)^٢ = ٤٩ + ١٠٠

(جـ)^٢ = ١٤٩

جـ = ١٢,٢١

٢٣)

(جـ)^٢ = (٧)^٢ + (٤)^٢

(جـ)^٢ = ٤٩ + ١٦

(جـ)^٢ = ٦٥

جـ = ٨,٠٦

٢٤) هندسة: أوجد طول قطر مكعب طول ضلعه ٥ سم.

(جـ)^٢ = (٧)^٢ + (٤)^٢

جـ = $\sqrt{\mathrm{٢٥} + \mathrm{٢٥}}$

جـ = $\sqrt{\mathrm{٥٠}}$

جـ = ٢$\sqrt{\mathrm{٥}}$ سم,

٢٥) منزل: يمثل الشكل المجاور العلوية لمنزل عرضها ٢٤ متراً، وطولا الضلعين المائلين لها ١٦ متراً، أوجد ارتفاع الواجهة مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة من المتر.

(١٦)^٢ = (١٢)^٢ + (ع)^٢

٢٥٦ = ١٢٤ + ع^٢

ع^٢ = ١١٢

ع = ١٠,٦ متر,

٢٦) شاحنات: صنع أحمد منحدراً خشبياً لسحب مجموعة صناديق على عربة ذات عجلات من مخزنة إلى الشاحنات كما في الشكل، فما طول المنحدر؟

(جـ)^٢ = (١,٢)^٢ + (٤)^٢

جـ = ٤,١٨ م تقريباً.

٢٧) هندسة: أوجد طول قطر مربع مساحته ٢٤٢ سم^٢

مساحة المربع = طول الضلع × نفسه.

٢٤٢ = ل^٢

ل = $\sqrt{\mathrm{٢٤٢}}$

(جـ)^٢ = ($\sqrt{\mathrm{٢٤٢}}$)^٢ + ($\sqrt{\mathrm{٢٤٢}}$)^٢

(جـ)^٢ = ٢٤٢ + ٢٤٢

(جـ)^٢ = ٤٨٤

جـ = ٢٢ سم.

إذا كان جـ يمثل طول الوتر في المثلث القائم الزاوية، فأوجد الطول المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة إن كان ذلك ضرورياً:

٢٨) أ = س، بَ = س + ٤١، جـَ = ٨٥

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(٨٥)^٢ = (س + ٤١)^٢ + (س)^٢

٧٢٢٥ = س^٢ + ١٦٨١ + ٨٢س + س^٢

٢س^٢ + ٨٢س - ٥٥٤٤ = ٠

س^٢ + ٤١س - ٢٧٧٢ = ٠

س = ٣٦، س = -٧٧ C

أَ = ٣٦

ب = س + ٤١

ب = ٣٦ + ٤١

بَ = ٧٧

٢٩) أ = ١٢، بَ = س - ٢، جـَ = س

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(س)^٢ = (س - ٢)^٢ + (١٢)^٢

س^٢ = س^٢ + ٤ - ٤س + ١٤٤

٠ = -٤س + ١٤٨

س = $\frac{\mathrm{١٤٨}}{\mathrm{٤}}$ = ٣٧

جـَ = ٣٧

ب = س - ٢

ب = ٣٧ - ٢

بَ = ٣٥

٣٠) أ = س - ٤٧، بَ = س، جـَ = س + ٢

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(س + ٢)^٢ = (س)^٢ + (س - ٤٧)^٢

س^٢ + ٤ + ٤س = س^٢ + س^٢ + ٢٢٠٩ - ٩٤س

س^٢ + ٢٢٠٩ - ٩٤س -٤ + ٤ = ٠

س^٢ -٩٨س + ٢٢٠٥ = ٠

(س - ٦٣) (س - ٣٥) = ٠

س = ٦٣، بَ = ٦٣

أَ = ٦٣ - ٤٧ = ١٦

جـَ = ٦٥

٣١) أ = س- ٣٢، بَ = س -١، جـَ = س

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(س)^٢ = (س - ١)^٢ + (س - ٣٢)^٢

س^٢ = س^٢ + ١ - ٢س + س^٢ + ١٠٢٤ - ٦٤س

١ -٢س + س^٢ + ١٠٢٤ - ٦٤س = ٠

س^٢ - ٨٢س + ١٠٢٥ = ٠

(س - ٤١) (س - ٢٥) = ٠

س = ٤١،

ب = ٤١ - ١

ب = ٤٠

أ = ٤١ -١

أََ = ٩

جـَ = ٤١

٣٢) هندسة: طول أحد ضلعي مثلث قائم الزاوية أقل بمقدار ٨ سم عن طول الضلع الآخر، وطول وتره ٣٠ سم، أوجد طول كل من ضلعيه.

نفرض أن الوتر جـ، طول أحد الأضلاع أ = س والضلع الثالث ب = س - ٨

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٣٠ = س^٢ + (س - ٨)^٢

^٢٣٠ = س^٢ + س^٢ + ٦٤ - ١٦س

٢س^٢ + ٦٤ - ٩٠٠ - ١٦س = ٠

٢س^٢ - ١٦س - ٨٣٦ = ٠

س^٢ - ٨س - ٤١٨ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} \times \mathrm{١} \times - \mathrm{٤١٨}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = ٢٤,٨٣

س = أ = ٢٤,٨

ب = ٢٤,٨ - ٨

ب = ١٦,٨٣

٣٣) الكعبة المشرفة: باب الكعبة المشرفة مصنوع من الذهب الخالص على هيئة مستطيل أبعاده التقريبية ٣,٢م، ١,٧م، فكم طول قطره؟

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = (١,٧)^٢ + (٣,٢)^٢

جـ^٢ = ١٣,١٣

جـ = ٣,٦

الكعبة المشرفة: ٣,٦ تقريباً.

٣٤) تحد: أوجد قيمة س في الشكل المجاور؟

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(١٤)^٢ = (٨)^٢ + (أ)^٢

أ^٢ = ١٣٢

أ = $\sqrt{\mathrm{١٣٢}}$

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

($\sqrt{\mathrm{١٣٢}}$)^٢ = (س)^٢ + (٢)^٢

١٣٢ = (س)^٢ + ٤

س^٢ = ١٣٢ - ٤

س^٢ = ١٢٨

س = ٨$\sqrt{\mathrm{٢}}$

٣٥) تبرير: أعط مثالاً مضاداً للعبارة الآتية: "تتساوى مساحتا مثلثين قائمي الزاوية إذا تساوى طولا وتريهما".

طول وتر المثلث القائم الذي طولا ضلعيه ٣سم، ٤سم، هو ٥سم ومساحته ٦سم^٢

وطول وتر المثلث القائم الذي طولا ضلعيه ٢سم، $\sqrt{\mathrm{٢١}}$سم هو ٥سم أيضاً ولكن مساحته $\sqrt{\mathrm{٢١}}$سم^٢ والتي تكافئ ٦ سم^٢

٣٦) اكتشف الخطأ: يحاول حسام وحازم تحديد إن كانت الأعداد "٣٦، ٧٧، ٨٥" تشكل ثلاثية فيثاغورس، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

اكتشف الخطأ: حسام، يجب أن يساوي مربع العدد الأكبر مجموع مربعي العددين الآخرين حيث عندها تتحقق ثلاثية فيثاغورس.

٣٧) اكتب: وضح كيف تحدد إن كانت أطوال ثلاث قطع مستقيمة تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

بحسب معكوس نظرية فيثاغورس إذا كان جـَ^٢ = بَ^٢ + أَ^٢ فإن أ، ب، جـ تشكل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية لذا تحقق إن كان مربع العدد الأكبر يساوي مجموع مربعي العددين الآخرين.

٣٨) هندسة: أوجد الطول المجهول في الشكل أدناه.

أ) -١٧

ب) -$\sqrt{\mathrm{١٦١}}$

جـ) $\sqrt{\mathrm{١٦١}}$

د) ١٧

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

ب^٢ = (١٥)^٢ - (٨)^٢

ب^٢ = ١٦١

ب = $\sqrt{\mathrm{١٦١}}$

٣٩) ما حل المعادلة: س + ١ = $\sqrt{س + \mathrm{١}}$؟

أ) ٠,٣

ب) صفر

جـ) ٣

د) ليس لها حل.

س + ١ = $\sqrt{س + \mathrm{١}}$

س +٢س + ١ -س = ٠

س^٢ + س = ٠

س (س + ١) = ٠

س = ٠

س = -١

الاختيار الصحيح: ب) صفر

٤٠) إجابة قصيرة: يتقاضى سباك ٤٠ ريالاً عن الساعة الأولى إذا عمل خارج محله، بالإضافة إلى مبلغ ٨ ريالات عن كل $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ساعة إضافية، فإذا عمل السباك ٤ساعات، فكم ريالاً يتقاضى؟

٤ ساعات = ٤٠ + (٦ × ٨) = ٤٠ + ٤٨ = ٨٨ ريالاً.