حل أسئلة تحقق من فهمك

١) محاضرات: دخل ناصر وخمسة من أصدقائه قاعة محاضرات، فبكم طريقة مختلفة يمكنهم أن يجلسوا جميعاً على ٦ مقاعد خالية في صف واحد؟

عدد الطرق = ٦ × ٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١ = ٧٢٠ طريقة.

٢) لوحات: رسم فنان ١٥ لوحة فنية، فبكم طريقة بمكنه اختيار ١٠ لوحات منها لعرضها في معرض فني.

ل = $\frac{ن!}{(ن- ر)!}$

^١٥ل_١٠ = $\frac{\mathrm{١٥}!}{(\mathrm{١٥} - \mathrm{١٠})!} = \frac{\mathrm{١٥}!}{\left(\mathrm{٥}\right)!}$ = ١٠٨٩٧٢٨٦٤٠٠

٣) اختبار: تقدم سعيد لاختبار في التاريخ، طلب فيه الإجابة عن ١٠ أسئلة من بين ١٢ سؤالاً، بكم طريقة يمكن أن تختار الأسئلة؟

^١٢ل_١٠ = $\frac{\mathrm{١٢}!}{\mathrm{٢}! \mathrm{١٠}!}$ = ٦٦ طريقة.

٤) كتب: أراد أربعة طلاب أن يختاروا كتباً يقرؤونها من بين ١٨ كتاباً مختلفاً، تتكون من ٤ روايات و٦ كتب علمية، و٨ كتب إسلامية، بكم طريقة يمكنهم اختيار الكتب الأربعة؟

^ن ق _ر = $\frac{ن!}{(ن- ر)!}$

^١٨ق_٤ = $\frac{\mathrm{١٨}!}{\_\mathrm{١٨} - \mathrm{٤}) \mathrm{٤}!}$ = ٣٠٦٠ طريقة.

٥) شركات: يريد أعضاء مجلس إدارة شركة أن يختاروا رئيساً ونائباً للرئيس وأميناً للسر وأميناً للصندوق، وكان فهد وسطام من بين تسعة مرشحين لهذه المراكز.

أ) بكم طريقة يمكن لأعضاء مجلس الإدارة اختيار الأعضاء الذين يشغلون هذه المراكز؟

ل = $\frac{ن!}{(ن- ر)!}$

^٩ل_٤ = $\frac{\mathrm{٩}!}{(\mathrm{٩}-\mathrm{٤})!}=\frac{\mathrm{٩}!}{\mathrm{٥}!}$ = ٣٠٢٤

ب) إذا تم الاختيار عشوائياً، فما احتمال أن يختار فهد أو سطام لمركز الرئيس أو نائب الرئيس؟

$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}$= ٤١,٧ تقريباً

عدد طرق اختيار رئيس ونائب = ^٩ق_٢ = $\frac{\mathrm{٩}!}{\mathrm{٢}! \times \mathrm{٧}!}$ = ٧٢

٨ طرق يكون فيها فهد رئيس و٨ طرق يكون فيها سطام رئيس.

٨ طرق يكون فيها فهد نائب رئيس (إحداهما مكررة عندما يكون فهد رئيس).

وأيضاً ٨ طرق يكون سطام نائب رئيس (إحداهما مكررة عندما يكون فهد رئيس).

عدد الطرق التي يكون فيها فهد أو سطام رئيس أو نائب رئيس = ٨ + ٨ + ٧ + ٧ = ٣٠ (حذف المكرر) يمكن التوضيح بأي من الثلاث شرائح التالية.

ح (فهد أو سطام) = $\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٨}\times \mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٥}}$ = ٧,٤١٪