حل أسئلة تدرب وحل المسائل

٨) تصوير: اصطف الطلاب الأربعة الأوائل في فصول الصف الثالث المتوسط في إحدى المدارس في صف لالتقاط؛ لعرضها على لوحة الشرف في المدرسة، فبكم طريقة يمكن أن ينظم المصور الطلاب الأربعة ليلتقط الصورة؟

٤ × ٣ × ٢ × ١ = ٢٤

٩) مسابقات علمية: وصل ٨ طلاب إلى المرحلة النهائية في مسابقات علمية، فبكم طريقة يمكن أن يقف هؤلاء الطلاب في صف على منصة قاعة الاحتفالات؟

٨ × ٧ × ٦ × ٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١ = ٤٠٣٢٠

أوجد قيمة كل مما يأتي:

١٠) ^٦ل_٦

ل = $\frac{ن!}{(ن -ر)!}$

^٦ل_٦$\frac{\mathrm{٦}!}{(\mathrm{٦}-\mathrm{٦})!}=\frac{\mathrm{٩}!}{\mathrm{٦}!}$ = ٧٢٠

١١) ^٥ل_١

ل = $\frac{ن!}{(ن -ر)!}$

^٥ل_١ = $\frac{\mathrm{٦}!}{(\mathrm{٦}-\mathrm{٦})!}=\frac{\mathrm{٩}!}{\mathrm{٦}!}$ = ٥

١٢) ^٤ل_١

ل = $\frac{ن!}{(ن -ر)!}$

^٤ل_١ = $\frac{\mathrm{٤}!}{(\mathrm{٤}-\mathrm{٤})!}=\frac{\mathrm{٤}!}{\mathrm{٣}!}$= ٤

١٣) ^٧ل_٣

ل = $\frac{ن!}{(ن -ر)!}$

^٧ل_٣ = $\frac{\mathrm{٧}!}{(\mathrm{٧}-\mathrm{٣})!}=\frac{\mathrm{٧}!}{\mathrm{٤}!}$= ٢١٠

١٤) ^٧ق_٦

^ن ق _ر = $\frac{ن!}{(ن - ر)! ر!}$

^٧ق_٦$\frac{\mathrm{٧}!}{(\mathrm{٧}-\mathrm{٦})!\mathrm{٦}!}=\frac{\mathrm{٧}!}{\mathrm{١}!\mathrm{٦}!}$ = ٧

١٥) ^٥ق_٣

^ن ق _ر = $\frac{ن!}{(ن - ر)! ر!}$

^٥ق_٣ = $\frac{\mathrm{٥}!}{(\mathrm{٥}-\mathrm{٣})!\mathrm{٣}!}=\frac{\mathrm{٥}!}{\mathrm{٢}!\mathrm{٦}!}$ = ١٠

١٦) ^٥ق_٥

^ن ق _ر = $\frac{ن!}{(ن - ر)! ر!}$

^٥ق_٥ = $\frac{\mathrm{٥}!}{(\mathrm{٥}-\mathrm{٥})!\mathrm{٣}!}=\mathrm{١}$

١٧) ٣ق_٠

^ن ق _ر = $\frac{ن!}{(ن - ر)! ر!}$

٣ق_٠ = $\frac{\mathrm{٣}!}{(\mathrm{٣}-\mathrm{٠})!\mathrm{٠}!}=\mathrm{١}$

١٨) مجوهرات: يعمل قاسم في محل لبيع المجوهرات، وقد طلب منه مديره أن يضع ثلاثاً من القلائد الاثنتي عشرة في خزانة العرض الأمامية، فبكم طريقة يمكن أن يرتب قاسم القلائد في خزانة العرض؟

ل = $\frac{ن!}{(ن -ر)!}$

^١٢ل_٣$\frac{\mathrm{١٢}!}{(\mathrm{١٢} -\mathrm{٣})!}=\frac{\mathrm{١٢}!}{\mathrm{٩}!}$ = ١٣٢٠

١٩) كرات زجاجية: يوجد في كيس ٢٠ كرة زجاجية، منها ٧ كرات حمراء و٨ زرقاء و٨ خضراء، فإذا سحبت ١٥ كرة من الكيس عشوائياً، فما احتمال سحب ٥ كرات من كل لون؟

عدد طرق سحب ١٥ كرة = ^٢٠ق_١٥$\frac{\mathrm{٢٠}!}{\mathrm{٥}!\times \mathrm{١٥}!}=\frac{\mathrm{٢٠}\times \mathrm{١٩}\times \mathrm{١٨}\times \mathrm{١٧}\times \mathrm{١٦}}{\mathrm{٥}\times \mathrm{٤}\times \mathrm{٣}\times \mathrm{٢}}$ = ١٥٥٠٤

• عدد طرق سحب ٥ كرات حمراء = ^٧ق_٥ = ٢١
• عدد طرق سحب ٥ كرات زرقاء = ^٨ق_٥ = ٥٦
• عدد طرق سحب ٥ كرات خضراء = ^٥ق_٥ = ١
• عدد طرق سحب ٥ كرات من كل لون = ٢١ × ٥٦ × ١ = ١١٧٦

احتمال (سحب ٥ كرات من كل لون) = $\frac{\mathrm{١١٧٦}}{\mathrm{١٥٥٠٤}}$ = ٧,٥٩

٢٠) كرة قدم: رشح معلم التربية الرياضية ٩ طلاب من الصف الأول المتوسط، و٦ طلاب من الصف الثاني المتوسط، و٨ طلاب من الصف الثالث المتوسط؛ لتشكيل فريق كرة القدم المدرسي، إذا علمت أن الفريق يتكون من ١١ لاعباً أساسياً.

أ) ما عدد طرق اختيار الفريق أساسياً.

عدد الطلاب = ٩ + ٨ + ٦ = ٢٣ طالب.

عدد طرق اختيار الفريق الأساسي ^٢٣ق_١١$\frac{\mathrm{٢٣}!}{\mathrm{١٢}! \times \mathrm{١١}!}$ = ١٣٥٢٠٧٨

ب) إذا تم اختيار الفريق الأساسي عشوائياً، فما احتمال أن يكون من بينهم طالب واحد على الأقل من الصف الثالث المتوسط؟

لإيجاد احتمال أن يكون طالب واحد على الأقل من الصف الثالث نوجد احتمال عدم وجود طالب من الصف الثالث في الفريق ثم نطرحه من ١ (احتمال متممة حادثة).

عدد طرق عدم وجود أي طالب من الصف الثالث (أي أن الفريق يتكون من طلاب الصفين الأول والثاني فقط).

^١٥ق_١١$\frac{\mathrm{١٥}!}{\mathrm{٤}!\times \mathrm{١١}!}$ = ١٣٦٥

ح (عدم وجود أي طالب من الصف الثالث) = $\frac{\mathrm{١٣٦٥}}{\mathrm{١٣٥٢٠٧٨}}$

ح (وجود طالب على الاقل من الصف الثالث) = ١ - $\frac{\mathrm{١٣٦٥}}{\mathrm{١٣٥٢٠٧٨}}$ ≈ ٩٩,٩

حدد هل يتضمن كل موقف من المواقف الآتية تباديل أم توافيق:

٢١) اختيار ٣ أنواع مختلفة من الفطائر من قائمة تحتوي على ١٢ نوعاً.

توافيق.

٢٢) اختيار الفائزين بالمراكز الثلاثة الأولى في مسابقة ثقافية.

تباديل.

٢٣) اختيار ٥ كتب لقراءتها من بين ٨ كتب على رف.

توافيق.

٢٤) ترتيب حروف كلمة "سعودي".

تباديل.

٢٥) وظائف: أجرى ٥١ شخصاً مقابلة لشغل إحدى الوظائف، فقامت لجنة المقابلة باختيار مرشح لهذه الوظيفة و٤ بدلاء.

أ) هل تتضمن عملية الاختيار تباديل أم توافيق؟

تباديل.

ب) بكم طريقة يمكن أن تختار اللجنة المراشح لوظيفة والبدلاء الأربعة؟

ل = $\frac{ن!}{(ن -ر)!}$

^٥١ل_٤ = $\frac{\mathrm{٥١}!}{(\mathrm{٥١} -\mathrm{٥})!}=\frac{\mathrm{٥١}!}{\mathrm{٤٦}!}$= ٢٨١٨٨٧٢٠٠ طريقة.

٢٦) خزانة: نسي هاني ترتيب الأعداد التي يستعملها لفتح خزانته، ولكنه يتذكر أنها تتكون من الأعداد ٥، ١٥، ٣١، فما العدد الأكبر للمحاولات التي ينفذها لفتح الخزانة؟

• ٥، ١٦، ٣١
• ٥، ٣١، ١٦
• ١٦، ٥، ٣١
• ١٦، ٣١، ٥
• ٣١، ٥، ١٦
• ٣١، ١٦، ٥

٦ محاولات.

٢٧) اكتشف الخطأ: تريد كل من سلمى ونوف أن يكونا لجنة مؤلفة من ٤ طالبات؛ للإشراف على تزيين المدرسة استعداداً لاحتفال تكريم الأوائل، تريد كل منهما أن تحدد عدد اللجان التي يمكن تشكيلها إذا تطوعت ١٠ طالبات للقيام بهذا العمل، فأيتهما كانت إجابتها صحيحة؟ فسر إجابتك.

نوف، بما أن الترتيب غير مهم فيجب استعمال التوافيق.

٢٨) حدد الموقف المختلف عن المواقف الثلاثة الأخرى فيما يأتي، ووضح إجابتك:

تحديد ترتيب للطلاب، لأنها الحالة الوحيدة التي يكون فيها الترتيب مهماً.

٢٩) تبرير: حدد هل تكون العبارة ^ن ل _ر= ^ن ق _ر صحيحة أحياناً أم صحيحة دائماً أم غير صحيحة أبداً، فسر إجابتك.

أحياناً، تكون هذه العبارة صحيحة عندما ر = ١،

لأن الترتيب غير وارد عند اختيار عنصر واحد وهي صحيحة أيضاً عندما ر = ٠

٣٠) اكتب: اذكر موقفاً لاختيار ٣ أشياء من بين ٨ أشياء، على أن يكون الترتيب فيه مهماً.

اختيار ٣ طلاب للمشاركة في الإذاعة المدرسية من بين ثمانية طلاب.

٣١) يريد سعيد أن يزرع ٣ أنواع مختلفة من الأزهار على جانب ممر في حديقته، بكم طريقة يمكنه زراعة هذه الأزهار؟

أ) ٣٤٢

ب) ٣٣٨

جـ) ٣٣٦

د) ٣٢٨

ل = $\frac{ن!}{(ن -ر)!}$

ل = $\frac{\mathrm{٨}!}{(\mathrm{٨} -\mathrm{٣})!}$= ٣٣٦ طريقة.

٣٢) مع سالم ٦٠ ورقة نقدية من فئتي عشرة ريالات وخمسة ريالات، قيمتها ٤٨٠ ريالاً، فكم ورقة معه من فئة عشرة ريالات؟

أ) ٢٤

ب) ٣٠

جـ) ٣٦

د) ٤٠

س فئة العشرين، ص فئة الخمسة

• س + ص = ٣٠
• ٢٠س + ٥ص = ٤٢٠
• ٥س + ٥ص = ١٥٠
• ٢٠س + ٥ص = ٤٢٠

$$\begin{gathered} \mathrm{٢٠}س + \mathrm{٥}ص = \mathrm{٤٢٠} \\ \underline{(-) \mathrm{٥}س +\mathrm{٥}ص = \mathrm{١٥٠}} \\ \mathrm{١٥}س = \mathrm{٢٧٠} \end{gathered}$$

-١٥س = -٢٧٠

س = ١٨

إذا ١٨ ورقة من فئة ٢٠