حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كلاً من المتباينات المركبة الآتية، ثم مثل مجموعة الحل بيانياً:

٦) ن + ٢ $\le$ -٥ و ن + ٦$\ge$ -٦

ن + ٢ $\le$ - ٥ و ن + ٦$\ge$ - ٦

ن + ٢ - ٢ $\le$ - ٥ - ٢ و ن + ٦ - ٢ $\ge$ - ٦ - ٢

ن $\le$ - ٧ و ن $\ge$ -١٢

{ن| - ١٢$\le$ ن $\le$ -٧ }

٧) ص - ١ $\ge$ ٧ أو ص + ٣ < - ١

ص - ١ $\ge$ ٧ أو ص + ٣ < - ١

ص - ١ + ١ $\ge$ ٧ + ١ أو ص + ٣ - ٣ < - ١ - ٣

ص $\ge$ ٨ أو ص < - ٤

{ص | ص $\ge$ ٨ و ص < - ٤}

٨) - ٥ < ٣ب + ٧$\le$ ٢٢

- ٥ < ٣ب + ٧، ٣ب + ٧ $\le$ ٢٢

- ٥ - ٧ < ٣ب + ٧ - ٧، ٣ب + ٧ - ٧$\le$ ٢٢ - ٧

-١٢ < ب، ٣ب $\le$ ١٥

-٤ < ب، ب $\le$ ٥

{ب| - ٤< ب $\le$ ٥}

٩) -٣$\le$٧م + ٤ < ١٨

-٣ $\le$٧م + ٤، ٧م + ٤ < ١٨

-٣ - ٤ $\le$٧م + ٤ - ٤، ٧م + ٤ - ٤ < ١٨ - ٤

- ٧$\le$٧م ، ٧م < ١٤

-١ $\le$ م ، م < ٢

{م | - ١ $\le$م < ٢}

١٠) سرعة: تبين اللوحتان المجاورتان أقصى سرعة وأدنى سرعة على طريق، عبر عن ذلك بمتباينة، ومثلها بيانياً،

افرض أن ع تمثل السرعة.

٦٠$\le$ ع $\le$ ١٢٥

١١) نظرية الأعداد: أوجد جميع المجموعات التي يتكون كل منها من عددين صحيحين فرديين موجبين متتاليين مجموعهما على الأقل ٨ ولا يلق عن ٢٤،

٨$\le$س + (س + ٢) $\le$٢٤

٨$\le$٢س + ٢ $\le$٢٤

٨$\le$٢س + ٢، ٢س + ٢ $\le$٢٤

٨ - ٢$\le$٢س + ٢ - ٢، ٢س + ٢ - ٢ $\le$٢٤ - ٢

٦$\le$٢س ، ٢س $\le$٢٢

٣$\le$١١ ، س$\le$١١

المجموعات: (٣، ٥)، (٥، ٧)، (٧، ٩)، (٩، ١١)

اكتب متباينة مركبة تعبر عن كل تمثيل بياني فيما يأتي:

١٢)

-١$\le$س $\le$٤

١٣)

س < -٤ أو س > -٣

١٤)

س$\le$٣ أو س$\ge$٦

١٥)

س$\le$ -٣ أو س> ٠

حل كلاً من المتباينتين المركبتين الآتيتين، ثم مثل مجموعة حلها بيانياً:

١٦) ٣ب + ٢ < ٥ب - ٦$\le$٢ب + ٩

٣ب +٢ < ٥ب - ٦ | ٥[ - ٦$\le$ ٢ب + ٩

٦ + ٢ < ٥ب - ٣ب | ٥ب - ٢ب$\le$٩ + ٦

٨ < ٢ب | ٣ب$\le$١٥

٤< ب | ب$\le$٥

{ب | ٤ < ب$\le$٥}

١٧) ٥ن - ١ < - ١٦ أو - ٣ن - ١ < ٨

٥ن - ١ < -١٦ أو -٣ن - ١ < ٨

٥ن - ١ + ١ < -١٦ + ١ أو -٣ن - ١ + ١ < ٨ + ١

٥ن < ١٥ أو -٣ن < ٩

ن < ٣ أو ن > - ٣

{ن | ن < ٣ أو ن > -٣}.

١٨) أفاعي: تعيش معظم الأفاعي في المناطق التي تتراوح درجة الحرارة فيها من ٢٤° سيليزية إلى ٣٣° سيليزية، اكتب متباينة تمثل درجات حرارة المناطق التي لا تعيش فيها الأفاعي.

تبين المسألة درجة الحرارة التي تعيش فيها الأفاعي والمطلوب درجة الحرارة التي لا تعيش فيها الأفاعي.

س < ٢٤ أو س > ٣٣

١٩) سلاحف: نادراً ما تفقس بيوض السلاحف البحرية في درجة حرارة أقل من ٢٣° أو ٣٣° سيليزية، اكتب متباينة تمثل درجات الحرارة التي يجب أن تحضن فيها البيوض كي تفقس.

درجات الحرارة التي تحضن فيها البيوض كي تفقس هي: ٢٣°$\le$ت $\le$ ٣٣°

٢٠) هندسة: تنص متباينة المثلث على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالثة.

أ) اكتب ثلاث متباينات تعبّر عن العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث المجاور، وحلها.

س + ٩ > ٤ وس + ٤ > ٩ و٤ + ٩ > س

س > - ٥ وس > ٥ وس < ١٣

ب) أعط أربعة أطوال ممكنة للضلع الثالث في هذا المثلث.

الأطوال الممكنة: ٦، ٩، ١٠، ١١

جـ) اكتب متباينة مركبة تمثل قيم س الممكنة.

المتباينة: ٥ < س < ١٣

٢١) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة: الخطأ المطلق للقياس الذي يساوي نصف وحدة القياس، والخطأ النسبي وهو نسبة الخطأ المطلق إلى القياس نفسه.

أ) جدولياً: انقل الجدول الآتي وأكمله:

ب) تحليلياً: إذا كان طول قطعة مستقيمة ١٢,٨ سم، فاحسب الخطأ المطلق، ثم اكتب مدى الأطوال الممكنة.

• الخطأ المطلق: $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$(٠,١) = ٠,٠٥ سم.
• مدى الأطوال الممكنة: ١٢,٨ - ٠,٠٥ $\le$ م $\le$ ١٢,٨ + ٠,٠٥

١٢,٧٥ $\le$ م $\le$ ١٢,٨٥

جـ) منطقياً: إلى أي حد تقيس دقة الطول بالسنتمترات لكي يكون الخطأ المطلق أقل من ٠,٠٥ سم؟

يقاس لأقرب جزء من مئة.

عرف متغيراً في كل الأسئلة (٢٢ - ٢٤)، واكتب المتباينة، ثم حلها، وتحقق من صحة الحل:

٢٢) عدد ناقص ثمانية لا يزيد على ١٤ ولا يقل عن ٥.

افترض أن العدد المتغير هو ن

٥$\le$ ن - ٨$\le$١٤

٥$\le$ن - ٨ | ن - ٨$\le$١٤

١٣$\le$ ن | ن$\le$٢٢

{ن|١٣$\le$ن $\le$٢٢}

التحقق:

افترض العدد ن = ١٤ وقم بالتعويض عنه في المتباينة الأصلية.

٥$\le$١٤ - ٨$\le$١٤ | ٥$\le$٦ $\le$١٤ العبارة صحيحة.

٢٣) ناتج جمع ثلاثة أمثال عدد مع أربعة يقع بين - ٨ و١٠.

- ٨ن < ٣ن + ٤ < ١٠

-٨ < ٣ن + ٤ | ٣ن + ٤ < ١٠

-١٢ < ٣ن | ٣ن < ٦

- ٤< ن | ن < ٢

{ن| - ٤ < ن < ٢}.

٢٤) ناتج ضرب عدد في -٥ يزيد على ٣٥ أو يقل عن ١٠.

- ٥ن > ٣٥ أو -٥ن < ١٠

ن < - ٧ | ن > -٢

{ن | ن < - ٧ أو ن > -٢}

٢٥) أعاصير: تصنف قوة الأعاصير في ٥ فئات تبعاً لسرعة رياحها كما في الجدول المجاور:

أ) اكتب متباينة مركبة تعبر عن سرعة الرياح في إعصار من الفئة ٣، ثم في إعصار من الفئة ٤.

• الفئة الثالثة: ١١١$\le$س $\le$ ١٣٠
• الفئة الرابعة: ١٣١$\le$س $\le$ ١٥٥

ب) ما تقاطع التمثيلين البيانيين للمتباينتين اللتين كتبتهما في الفراغ أ؟

٢٦) اكتشف الخطأ: حل كل من سعد ومسفر المتباينة ٣ < ٢س - ٥ < ٧, فأيهما إجابته صحيحة؟ وضح تبريرك.

كلاهما خطأ؛ لأن كلاهما أضاف ٥ إلى طرف واحد من المتباينة.

٢٧) تبرير: اكتب متباينة مركبة يكون تمثيلها البياني المجموعة الخالية، ومتباينة أخرى يكون تمثيلها البياني مجموعة الأعداد الحقيقية.

• المجموعة الخالية: س$\le$٤ وس$\ge$١
• جميع الأعداد الحقيقية: س$\le$٥ أو س$\ge$١

٢٨) مسألة مفتوحة: أعط مثالاً لمتباينة مركبة تحتوي (أو) وحلولها كثيرة وغير منتهية.

س$\le$٢ أو س$\ge$٤

٢٩) اكتب: أعط مثالاً من واقع الحياة يمكن تمثيله بمتباينة مركبة، ثم حلها.

تتراوح درجة حرارة جسم الإنسان الحي بين ٣٦ و٣٩ درجة سيليزية.

٣٦ $\le$س$\le$٣٩

٣٠) ما مجموعة حل المتباينة: - ٧ < س + ٢ < ٤؟

أ) {س | -٥ < س < ٦}

ب) {س | -٥ < س < ٢}

جـ) {س | -٩ < س < ٢}

د) {س | -٩ < س < ٦}

٣١) هندسة: ما مساحة سطح المنشور الرباعي المجاور؟

أ) ٢٤٩,٦ سم^٢

ب) ٢٧٨,٤ سم^٢

جـ) ٣١٣,٦ سم^٢

د) ٣٧١,٢ سم^٢