حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف:

٥) س + ص = ٢

-٣س +٤ص = ١٥

س + ص = ٢ (× ٣) $\leftarrow$٣س + ٣ص = ٦

$$\begin{gathered} \mathrm{٣}س + \mathrm{٣}ص = \mathrm{٦} \\ \underline{-\mathrm{٣}س + \mathrm{٤}ص = \mathrm{١٥}} \\ \mathrm{٧}ص = \mathrm{٢١} \end{gathered}$$

ص = ٣

عوض عن ص في إحدى المعادلات:

س + ٣ = ٢

س = -١

الحل هو: (-١، ٣)

٦) س - ص = - ٨

٧س + ٥ص = ١٦

س - ص = -٨ (× ٥)$\leftarrow$٥س + ٥ص = -٤٠

$$\begin{gathered} \mathrm{٥}س - \mathrm{٥}ص = - \mathrm{٤٠} \\ \underline{\mathrm{٧}س + \mathrm{٤}ص = \mathrm{١٦}} \\ \mathrm{١٢}س = -\mathrm{٢٤} \end{gathered}$$

س = -٢

عوض عن س في إحدى المعادلات:

- ٢ - ص = - ٨

ص = ٦

الحل هو: (-٢، ٦)

٧) ٦س + ص -٣٩

٣س + ٢ص = -١٥

٦س + ص = -٣٩ (× ٢) $\leftarrow$ ١٢س + ٢ص = -٧٨

$$\begin{gathered} \mathrm{١٢}س + \mathrm{٢}ص = -\mathrm{٧٨} \\ \underline{\mathrm{٣}س + \mathrm{٢}ص = -\mathrm{١٥}} \\ \mathrm{٩}س = -\mathrm{٦٣} \end{gathered}$$

س = -٧

عوض عن س في إحدى المعادلات:

٦(-٧) + ص = -٣٩

ص = ٣

الحل هو: (-٧، ٣)

٨) ٢س + ٥ص = ١١

٤س + ٣ص = ١

٢س + ٥ص = ١١ (× ٢) $\leftarrow$ ٤س + ١٠ص = ٢٢

$$\begin{gathered} \mathrm{٤}س + \mathrm{١٠} ص = \mathrm{٢٢} \\ \underline{\mathrm{٤}س + \mathrm{٣} ص = \mathrm{١}} \\ \mathrm{٧}ص = \mathrm{٢١} \end{gathered}$$

ص = ٣

عوض عن ص في إحدى المعادلات:

٢س + ٥(٣) = ١١

٢س = -٤

س = -٢

الحل هو: (-٢، ٣)

٩) ٣س + ٤ص = ٢٩

٦س + ٥ص = ٤٣

٣س + ٤ص = ٢٩ (× ٦)

٦س + ٥ص = ٤٣ (× ٣)

$$\begin{gathered} \mathrm{١٨}س + \mathrm{٢٤} ص = \mathrm{١٧٤} \\ \underline{\mathrm{١٨}س + \mathrm{١٥} ص = \mathrm{١٢٩}} \\ \mathrm{٩}ص = \mathrm{٤٥} \end{gathered}$$

ص = ٥

عوض عن ص في إحدى المعادلات:

٣س + ٤(٥) = ٢٩

٣س = ٩

س = ٣

الحل هو: (٣، ٥)

١٠) ٤س +٧ص = - ٨٠

٣س + ٥ص = -٥٨

٤س +٧ص = - ٨٠ (× ٣)

٣س + ٥ص = -٥٨ (× ٤)

$$\begin{gathered} \mathrm{١٢}س + \mathrm{٢١}ص = -\mathrm{٢٤٠} \\ \underline{\mathrm{١٢}س + \mathrm{٢٠}ص = -\mathrm{٢٣٢}} \\ ص = - \mathrm{٨} \end{gathered}$$

عوض عن ص في إحدى المعادلات:

٤س + ٧(-٨) = -٨٠

٤س = - ٢٤

س = -٦

الحل هو: (-٦ -٨)

١١) ١٢س -٣ص = -٣

٦س + ص = ١

١٢س -٣ص = -٣

٦س + ص = ١ (×٣)

$$\begin{gathered} \mathrm{١٢}س - \mathrm{٣}ص = -\mathrm{٣} \\ \underline{\mathrm{١٨}س + \mathrm{٣}ص = \mathrm{٣}} \\ \mathrm{٣٠}س = \mathrm{٠} \end{gathered}$$

س = ٠

عوض عن س في إحدى المعادلات:

ص = ١

الحل هو: (٠، ١)

١٢) -٤س + ٢ص = ٠

١٠س + ٣ص = ٨

-٤س + ٢ص = ٠ (×١٠)

١٠س + ٣ص = ٨ (× ٤)

$$\begin{gathered} -\mathrm{٤٠}س + \mathrm{٢٠}ص = \mathrm{٠} \\ \underline{\mathrm{٤٠}س + \mathrm{١٢}ص = \mathrm{٣٢}} \\ \mathrm{٣٢}ص = \mathrm{٣٢} \end{gathered}$$

ص = ١

عوض عن ص في إحدى المعادلات:

-٤س + ٢(١) = ٠

-٤س = -٢

س = ٠,٥

الحل هو: (٠,٥، ١)

١٣) نظرية الأعداد: ما العددان اللذان سعة أمثال أحدهما زائد ثلاثة أمثال الآخر يساوي سالب واحد، ومجموعهما يساوي سالب ثلاثة؟

افترض العددان س، ص

٧س + ٣ص = -١

س + ص = -٣ (× ٣)

$$\begin{gathered} \mathrm{٧}س + \mathrm{٣}ص =-\mathrm{١} \\ \underline{\mathrm{٣}س + \mathrm{٣}ص = -\mathrm{٩}} \\ \mathrm{٤}س = \mathrm{٨} \end{gathered}$$

س = ٢

عوض عن س في إحدى المعادلات:

٢ + ص = -٣

ص = - ٥

الحل هو: (٢، -٥)

١٤) كرة قدم: سجل أحد لاعبي القدم (١٢) هدفاً في الدوري الممتاز، فإذا علمت أن ضعف عدد الأهداف التي سجلها في مرحلة الذهاب تزيد على ثلاثة أمثال أهدافه في مرحلة الإياب بـ ٤، فما عدد أهدافه في كل مرحلتي الذهاب والإياب؟

عدد أهداف الذهاب س وعدد أهداف الإياب ص

س + ص = ١٢ (× ٣)

٢س - ٣ص = ٤

$$\begin{gathered} \mathrm{٣}س + \mathrm{٣}ص = \mathrm{٣٦} \\ \underline{\mathrm{٢}س - \mathrm{٣}ص = \mathrm{٤}} \\ \mathrm{٥}س = \mathrm{٤٠} \end{gathered}$$

س = ٨

عوض عن س في إحدى المعادلات:

٨ + ص = ١٢

ص = ٤

• عدد أهداف الذهاب = ٨ أهداف.
• عدد أهداف الإياب = ٤ أهداف.

حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف:

١٥) -٠,٤س + ٠,٢٥ص = -٢,١٧٥

٢س + ص = ٧,٥

-١,٦س + ص = -٨,٧ بالقسمة على ٠,٢٥

٢س + ص = ٧,٥

-٣,٦س = -١٦,٢

س = ٤,٥ عوض عن س في إحدى المعادلات:

٢(٤,٥) + ص = ٧,٥

ص = -١,٥

الحل هو: (٤,٥، -١,٥)

١٦) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$س + ٤ص = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$

٣ص +$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٩}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$س + ٤ص = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$ (× ٤)

٣ص +$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٩}$ (× ٤)

$$\begin{gathered} س + \mathrm{١٦}ص = \mathrm{١١} \\ \underline{\mathrm{٩٦}س + \mathrm{١٦}ص = \mathrm{٢٩٦}} \mathrm{طرح} \mathrm{المعادلتين} \\ -\mathrm{٩٥}س = -\mathrm{٢٨٥} \end{gathered}$$

س = ٣ عوض عن س في إحدى المعادلات:

٣س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٩}$

٣ × ٣ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٩}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

الحل هو: (٣، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)

١٧) هندسة: إذا علمت أن التمثيل البياني للمعادلتين: س + ٢ص = ٢,٦س +ص = ٩ يشتمل على ضلعين من أضلاع مثلث، وأن نقطة تقاطع المستقيمين هي رأس المثلث، فأجب عن الأسئلة الآتية:

أ) ما إحداثيات رأس المثلث؟

رأس المثلث هي نقطة تقاطع أي حل المعادلتين.

س + ٢ ص = ٦

٢س + ص = ٩ (×٢)

$$\begin{gathered} س + \mathrm{٢}ص = \mathrm{٦} \\ \underline{\mathrm{٤}س + \mathrm{٢}ص = \mathrm{١٨}} \\ -\mathrm{٣}س = -\mathrm{١٢} \end{gathered}$$

س = ٤

عوض عن س في إحدى المعادلات:

٢(٤) + ص = ٩

ص = ١

رأس المثلث = (٤، ١)

ب) ارسم هذين المستقيمين، وعين رأس المثلث.

س + ٢ص = ٦

عند س = ٠، ص = ٣

إذاً النقطة (٠، ٣)

عند ص = ٠، س = ٦

إذاً النقطة (٦، ٠)

٢س + ص = ٩

عند س = ٠، ص = ٩

إذاً النقطة (٠، ٩)

عند ص = ٠، س = ٤,٥

إذاً النقطة (٤,٥، ٠)

جـ) إذا كان التمثيل البياني للمعادلة س - ص = -٣ يشمل الضلع الثالث للمثلث، فارسم هذا المستقيم على الشكل نفسه.

س - ص = -٣

عند س = ٠، ص = ٣

إذاً النقطة (٠، ٣)

عند ص = ٠، س = -٣

إذاً النقطة (-٣، ٠)

د) أوجد إحداثيات الرأسين الآخرين للمثلث.

الرأسين الآخرين للمثلث (٠، ٣)، (٢، ٥)

١٨) اختبارات: اكتشف معلم أنه عكس درجة أحد طلابه في أثناء رصدها مما آخر ترتيبه بين الأوائل، فأخبر الطالب وبيّن له أنه مجموع رقمي درجته يساوي ١٤، والفارق بين درجتيه الحالية والصحيحة ٣٦ درجة، وطلب إليه أن يعرف درجته الصحيحة وسوف يكافئه، فما الدرجة الصحيحة؟

درجته صحيحة = ٩٥ درجة.

١٩) تبرير: وضح كيف يمكنك تعريف نظام المعادلتين الخطيتين الذي له عدد لا نهائي من الحلول.

عندما تكون إحدى المعادلتين مضاعفة للأخرى.

٢٠) اكتشف الخطأ: حل كل من سعيد وحسين نظاماً من معادلتين، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

سعيد؛ لأنه حذف المتغير ر بضرب المعادلة الثانية × ٢ ثم طرح، أما حسين فلم يطرح المعادلتين بصورة صحيحة.

٢١) مسألة مفتوحة: اكتب نظاماً من معادلتين يمكن حله بضرب إحدى معادلتيه في -٣، ثم جمع المعادلتين معاً.

٢س - ص = ٨ (× -٣)

س - ٣ص = ٩

$$\begin{gathered} -\mathrm{٦}س + \mathrm{٣}ص = -\mathrm{٢٤} \\ \underline{س - \mathrm{٣}ص = \mathrm{٩}} \\ -\mathrm{٥}س = -\mathrm{١٥} \end{gathered}$$

س = ٣

عوض عن س في إحدى المعادلات

٣ - ٣ص = ٩)

-٣ص = ٦

ص = -٢

الحل هو: (٣، -٢)

٢٢) تحد: إذا كان حل النظام: ٤س + ٥ص = ٦,٢س - ٢ص = ب هو (٣، أ)، فأوجد قيمة كل من أ، ب موضحاً خطوات الحل التي استعملتها.

التعويض عن س، ص بالنقطة (٣، أ)

٤س + ٥ص = ٢

٢أ + ٥أ = ٢

٥أ = -١٠

أ = -٢

بالتعويض عن أ

٦س - ٢ص = ب

١٨ - ٢× -٢ = ب

١٨ + ٤ = ب

ب = ٢٢

٢٣) اكتب: وضح كيف تحدد المتغير الذي ينبغي حذفه باستعمال الضرب.

حدد المتغير الذي يكون إشارته مختلفة ويمكن أن يتساوى معاملة في المعادلتين بضرب أحد المعادلتين في عدد معين بحيث يمكن حذفه بجمع المعادلتين.

٢٤) ما الزوج المرتب الذي يمثل حل النظام الآتي؟

٢س -٣ص = -٩

- س +٣ص = ٦

أ) (٣، ٣)

ب) (-٣، ٣)

جـ) (-٣، ١)

د) (١، -٣)

٢٥) احتمال: يبين الجدول أدناه نتائج رمي مكعب أرقام، فما الاحتمال التجريبي لظهور العدد ٣؟

أ) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

ب) $\frac{\mathbf{١}}{\mathbf{٣}}$

جـ) ٠,٢

د) ٠,١