حل أسئلة تحقق من فهمك

1) استثمار: تمثل الدالة: $v\left(d\right)=0.002d^4-0.11d^3+1.77d^2-8.6d+31,0\le d\le 20$ تقديراً لاستثمارات أحد رجال الأعمال في السوق المحلية، حيث v(d) قيمة الاستثمارات بملايين الريالات في السنه d.

1A) استعمل التمثيل البياني لتقدير قيمة الاستثمارات في السنة العاشرة، ثم تحقق من إجابتك جبرياً.

$\begin{array}{rl}v\left(10\right)=& 0.002(10{)}^4-0.11(10{)}^3+1.77(10{)}^2-8.6\times 10+31\\ & =20-110+177-86+31=32\end{array}$

=32 مليون.

1B) استعمل التمثيل البياني لتحديد السنوات التي بلغت فيها قيمة الاستثمارات 30 مليون ريال، ثم تحقق من إجابتك جبرياً.

في بداية متتابعة المستثمر (اليوم0) وفي اليومين 15,9.

أوجد مجال الدالة f ومداها باستعمال التمثيلات البيانية الآتية:

2A)

• المجال [2,6-]
• المدى [0,4]

2B)

• المجال $(-4,2)\cup (2,\mathrm{\infty })$
• المدى $(-\mathrm{\infty },2)\cup \left\{6\right\}$

ستعمل التمثيل البياني لكل من الدالتين أدناه، لإيجاد قيمة تقريبية للمقطع y، ثم أوجده جبرياً.

3A)

$f\left(0\right)=0^3+0^2-6\times 0+4=4$

3B)

$f\left(0\right)=\sqrt{0^2+6}=\sqrt{6}$

استعمل التمثيل البياني المجاور، الذي يمثل الدالة $f\left(x\right)=2x^2+x-15$ لإيجاد قيم تقريبية لأصفارها، ثم أوجد هذه الأصفار جبرياً.

4A)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=3x^3-10x^2+8x\\ & f\left(x\right)=0\\ & \therefore 3x^3-10x^2+8x=0\\ & \therefore x(3x^2-10x+8)=0\\ & \therefore x(3x-4)(x-2)=0\\ & \therefore x=0,x=\frac{4}{3} \text{or }x=2\end{array}$

أي أن أصفار الدالة f هي $0,\frac{4}{3},2$.

4B)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=0\\ & \therefore \sqrt{4t+1}=0\\ & \therefore 4t+1=0\\ & \therefore 4t=-1\\ & \therefore t=\frac{-1}{4}\end{array}$

أي أن أصفار الدالة f هي $-\frac{1}{4}$

استعمل التمثيل البياني لكل من المعادلتين الآتيتين لاختبار التماثل حول المحور x أو المحور y ونقطة الأصل، عزز إجابتك عددياً، ثم تحقق منها جبرياً.

5A)

ستضح من التمثيل البياني أن المنحنى متماثل حول المحور y، لأن كل نقطة (x,y) على المنحنى تقع النقطة (x,y-) على المنحنى نفسه.

التحقق العددي: يبين الجدول الآتي وجود تماثل حول المحور x.

التحقق جبرياً: بما أن المعادلة $y=-(-x{)}^2+6$ تكافئ $y=-x^2+6$ فإن المنحني متماثل حول المحور y.

5B)

يتضح من التمثيل البياني أن المنحنى متماثل حول المحور x لأن كل نقطة (x,y) على المنحنى، تقع النقطة (-x,y) على المنحنى نفسه وهو متماثل حول المحور y أيضاً، لأن لكل نقطة (x,y) على المنحنى، تقع النقطة (x,y-) على المنحنى نفسه، وهو متماثل حول نقطة الأصل لأن لكل نقطة (x,y) على المنحنى، تقع النقطة (-x,y-) على المنحنى نفسه، ويمكن التحقق من ذلك عددياً وجبرياً.

استعمل الحاسبة البيانية لتمثل كل دالة مما يأتي بيانياً، ثم حلل منحناها لتحدد إن كانت الدالة زوجية أم فردية أم غير ذلك، ثم تحقق من إجابتك جبرياً.

6A) $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2}$

من التمثيل البياني يتضح أن الدالة زوجية لأنها متماثلة حول المحور y.

التحقق جبرياً: $f(-x)=\frac{2}{(-x{)}^2}=\frac{2}{x^2}=f\left(x\right)$

6B) $g\left(x\right)=4\sqrt{x}$

من التمثيل البياني يتضح أن الدالة ليست زوجية وليست فردية.

التحقق جبرياً: $f(-x)=4\sqrt{-x}\ne f\left(x\right)$

6C) $h\left(x\right)=x^5-2x^3+x$

من التمثيل البياني يتضح أن الدالة فردية لأنها متماثلة حول نقطة الأصل.

التحقق جبرياً: $\begin{array}{rl}f(-x)& =(-x{)}^5-2(-x{)}^3+(-x)\\ & =-(x^5-2x^3+x)=-f\left(x\right)\end{array}$