حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة: مثل بيانياً منحنى يحقق الشروط في كل حالة مما يأتي:

50) منحنى يمر بالنقاط (8,1-), (2,5-), (4,4-), (8,3-)، ومتماثل حول المحور y.

51) منحنى يمر بالنقاط (4,24), (3,12), (2,6), (0,0)، ومتماثل حول المحور x.

52) منحنى يمر بالنقاط (-1,3-), (-2,9-), (-3,18-)، ومتماثل حول نقطة الأصل.

53) منحنى يمر بالنقاط (-8,8), (-6,12), (-4,16)، ويمثل دالة زوجية.

54) اكتب: وضح لماذا يمكن أن يكون للدالة 0 أو 1 أو أكثر من مقاطع x، بينما يوجد لها مقطع y واحد على الأكثر.

يمكن أن تقطع الدالة محور x أكثر من مقطع لأن قيمة x لا تعتمد على قيمة y في حين قيمة y تعتمد على قيمة x ويجب أن ترتبط كل قيمة ل x بقيمة واحدة فقط ل y.

إذا قطعت الدالة محور y أكثر من مقطع فإنها لا تحقق اختبار الخط الرأسي، وبالتالي لا تكون دالة.

55) تحدٍ: أوجد مجال الدالة $f\left(x\right)=\frac{2x^2+3x-2}{x^3-4x^2-12x}$ ومداها، برر إجابتك ثم تحقق منها بيانياً.

• المجال= $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,0)\cup (0,6)\cup (6,\mathrm{\infty })$
• المدى= $\{y\mid y\in R\}$

تبرير: أي العبارات الآتية صحيحة، وأيها خاطئة، برر إجابتك.

56) مدى الدالة $f\left(x\right)=n{x}^2$، حيث n عدد صحيح، هو $\{y\mid y\ge 0,y\in \mathrm{R}\}$.

خطأ، هذا المدى يكون صحيح فقط عندما $n>0$ ولكن عندما n=0 فإن f(x)=0 وكذلك عندما $n<0$ فإن $f\left(x\right)<0$.

57) مدى الدالة $f\left(x\right)=\sqrt{nx}$، حيث n عدد صحيح، هو $\{y\mid y\ge 0,y\in \mathrm{R}\}$.

صحيح إذا كانت n=0، يكون المدى $\{y\mid y=0\}$ وإذا كانت n سالبة تكون الدالة معرفة في المجال $\{x\mid x\le 0,x\in R\}$ ويكون المدى $\{y\mid y\ge 0,y\in R\}$، وإذا كانت n موجبة معرفة في المجال $\{x\mid x\ge 0,x\in R\}$ ويكون المدى $\{y\mid y\ge 0,y\in \mathrm{R}\}$.

58) جميع الدوال الفردية متماثلة حول المستقيم y=-x.

خطأ، حيث في الدالة y=x³ (وهي دالة فردية)، صورة النقطة (2,8) بانعكاس في المستقيم y=-x هي النقطة (-8,2-) وليست النقطة (-2,8-).

59) إذا دارت دالة زوجية °n180 حول نقطة الأصل، حيث n عدد صحيح فإنها تبقى زوجية.

صحيح، إذا كانت n عدداً زوجياً فإن الدالة تدور مضاعفات ${360}^{\circ }\mathrm{C}$ وهذا يعيد الدالة إلى موقعها الأصلي وإذا كانت n عدداً فردياً فإن الدالة تدور مضاعفات ${180}^{\circ }\mathrm{C}$ حول نقطة الأصل وهو دوران مكافئ لانعكاس حول المحور x الذي يعمل على عكس إشارات y والذي يبقى على الدالة الزوجية.

تبرير: إذا كانت a(x) دالة فردية، فحدد ما إذا كانت الدالة b(x) فردية، أم زوجية، أم غير ذلك في كل مما يأتي، وبرر إجابتك.

60) b(x)=a(-x)

دالة فردية حيث b(x) انعكاس للدالة a(x) في المحور y وهي متماثلة حول نقطة الأصل وعليه فإن الدالة b(x) فردية.

61) b(x)=-a(x)

دالة فردية حيث b(x) انعكاس للدالة a(x) في المحور y وهي متماثلة حول نقطة الأصل وعليه فإن الدالة b(x) فردية.

62) $b\left(x\right)=\left[a\right(x){]}^2$

دالة زوجية حيث $b(-x)=\left[a\right(x){]}^2=[-a(-x){]}^2=\left[a\right(-x){]}^2=b(x)$

63) $b\left(x\right)=a\left(\right|x\left|\right)$

دالة زوجية حيث $b(-x)=a\left(\right|-x\left|\right)=a\left(\right|x\left|\right)=b\left(x\right)$

64) $b\left(x\right)=\left[a\right(x){]}^3$

دالة فردية حيث $b(-x)=\left[a\right(-x){]}^3=[-a\left(x\right){]}^3=-\left[a\right(x){]}^3=-b(x)$

تبرير: هل يمثل المنحني المعطى تماثله في كل مما يأتي دالة دائماً أم أحياناً أم لا يمثل دالة؟ وبرر إجابتك.

65) متماثل حول المستقيم x=4.

أحياناً يمثل دالة، منحنى العلاقة المتماثل حول المحور y يمثل دالة أحياناً ومثله منحنى العلاقة المتماثلة حول المستقيم x=4، لأن المستقيم x=4 هو إزاحة للمحور y بمقدار 4 وحدات إلى اليمين.

66) متماثل حول المستقيم y=2.

لا يمثل دالة، منحنى العلاقة متماثل حول المحور x لا يمثل دالة ومثله المنحنى المتماثل حول المستقيم y=2لأن المستقيم y=2 هو انسحاب للمحور x بمقدار وحدتين إلى الأعلى.

67) متماثل حول كل من المحورين x, y.

لا يمثل دالة، منحنى العلاقة المتماثل حول المحور x لا يمثل دالة.

68) اكتب: وضح لماذا لا تكون العلاقة المتماثلة حول المحور x دالة؟

إذا كانت العلاقة متماثلة حول المحور x فإنه يوجد نقطتان على خط رأسي واحد وعلى بعدين متساويين من المحور x، وهذا يعني أن عنصر من المجال الدالة ارتبط بعنصرين من المدى وهذا يخالف تعريف الدالة.