حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حلل كل كثيرة حدود مما يأتي:

١٢) س^٢ + ١٧س + ٤٢

س^٢ + ١٧س + ٤٢

عاملين موجبين مجموعهما ١٧ وناتج ضربهما ٤٢

٣× ١٤ = ٤٢، ٣ + ١٤ = ١٧

س^٢ + ١٧س + ٤٢ = (س + ٣) (س + ١٤)

١٣) ص^٢ - ١٧ص + ٧٢

ص^٢ - ١٧ص + ٧٢

عاملين سالبين مجموعهما - ١٧ وناتج ضربهما ٧٢

-٨ × -٩ = ٧٢، -٨ +(-٩) = -١٧

ص^٢ - ١٧ص + ٧٢ = (ص - ٨) (ص - ٩)

١٤) أ^٢ +٨أ - ٤٨

أ^٢ +٨أ - ٤٨

عاملين مختلفي الإشارة مجموعهما ٨ وناتج ضربهما - ٤٨

١٢ × - ٤ = - ٤٨، ١٢ + (-٤) = ٨

أ^٢ +٨أ - ٤٨ = (أ + ١٢) (أ - ٤)

١٥) ن^٢ - ٢ن- ٣٥

ن^٢ - ٢ن- ٣٥

عاملين موجبين مجموعهما ١٥ وناتج ضربهما ٤٤

١١ × ٤ = ٤٤، ١١ + ٤ = ١٥

هـ + ١٥هـ + ٤٤ = (هـ + ١١) (هـ + ٤)

١٦) ٤٤ + ١٥هـ + هـ^٢

٤٤ + ١٥هـ + هـ^٢ = هـ + ١٥هـ + ٤٤

عاملين موجبين مجموعهما ١٥ وناتج ضربهما ٤٤

١١ × ٤ = ٤٤، ١١ + ٤ = ١٥

هـ + ١٥هـ + ٤٤ = (هـ + ١١) (هـ + ٤)

١٧) ٤٠ - ٢٢س + س^٢

٤٠ - ٢٢س + س^٢

س^٢ -٢٢س + ٤٠

عاملين سالبين مجموعهما - ٢٢ وناتج ضربهما ٤٠

-٤٠ × -٢ = ٤٠، -٢٠ + (-٢) = -٢٢

س -٢٢س + ٤٠ = (س - ٢٠) (س - ٢)

حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من صحة الحل:

١٨) س^٢ -٧س + ١٢ = ٠

س^٢ -٧س + ١٢ = ٠ المعادلة الأصلية.

(س - ٤) (س - ٣) = ٠ حلل إلى عوامل.

س - ٤ = ٠ أو س - ٣ = ٠ خاصية الضرب الصفري.

س = ٤ أو س = ٣ حل كل معادلة.

الجذران هما: ٣، ٣

التحقق: $\leftarrow$ (٤)^٢ - ٧ + ١٢ = ١٦ - ٢٨ + ١٢ = ٠ C

= (٣)^٢ - ٧(٣) + ١٢ = ٩ - ٢١ + ١٢ = ٠ C

١٩) ص^٢ + ص = ٢٠

ص^٢ + ص = ٢٠ المعادلة الأصلية.

ص^٢ + ص - ٢٠ = ٠ طرح ٢٠

(ص - ٤) (ص + ٥) = ٠ حلل إلى عوامل.

ص - ٤ = ٠ أو ص + ٥ = ٠ خاصية الضرب الصفري.

ص = ٤ أو ص = -٥

الجذران هما: ٤، -٥

التحقق: $\leftarrow$ (٤)^٢ + (٤) = ١٦ + ٤ = ٢٠ C

= (-٥)^٢ + (-٥) = ٢٥ - ٥ = ٢٠ C

٢٠) س^٢ -٦س = ٢٧

س^٢ -٦س = ٢٧ المعادلة الأصلية.

س^٢ -٦س - ٢٧ = ٠ طرح ٢٧

(س - ٩) (س + ٣) = ٠ حلل إلى عوامل.

س - ٩ = ٠ أو س + ٣ = ٠ خاصية الضرب الصفري.

س = ٩ أو س = -٣ حل كل معادلة.

الجذران هما: ٩، -٣

التحقق: $\leftarrow$ (٩)^٢ - ٦(٩) - ٢٧ = ٨١ - ٥٤ - ٢٧ = ٠ C

= (-٣)^٢ - ٦(-٣) - ٢٧ = ٩ + ١٨ - ٢٧ = ٠ C

٢١) جـ + ١٠جـ + ٩ = ٠

جـ + ١٠جـ + ٩ = ٠ المعادلة الأصلية.

(جـ + ٩) (جـ + ١) = ٠ حلل إلى عوامل.

جـ + ٩ = ٠ أو جـ + ١ = ٠ خاصية الضرب الصفري.

جـ = -٩ أو جـ = -١ حل كل معادلة.

الجذران هما: -٩، -١

التحقق: $\leftarrow$ (-٩)^٢ + ١٠(-٩) + ٩ = ٨١ - ٩٠ + ٩ = ٠ C

= (-١)^٢ + ١٠(-١) + ٩ = ١ - ١٠ + ٩ = ٠ C

٢٢) ن^٢ - ١٢٠ = ٧ن

ن^٢ - ١٢٠ = ٧ن المعادلة الأصلية.

ن^٢ - ٧ن - ١٢٠ = ٠ طرح ٢٧

(ن - ١٥) (ن + ٨) = ٠ حلل إلى عوامل.

ن - ١٥ = ٠ أو ن + ٨ = ٠ خاصية الضرب الصفري.

ن = ١٥ أو ن = -٨ حل كل معادلة.

الجذران هما: ١٥، -٨

التحقق: $\leftarrow$ (-٨)^٢ - ١٢٠ = ٧ (- ٨) = -٥٦ C

= (١٥)^٢ - ١٢٠ = ٧(١٥) = ١٠٥ C

٢٣) هـ^٢ + ٤٨ = ١٦هـ

هـ^٢ + ٤٨ = ١٦هـ المعادلة الأصلية.

هـ^٢ - ١٦هـ + ٤٨ = ٠ طرح ١٦ هـ

(هـ - ٤) (هـ - ١٢) = ٠ حلل إلى عوامل.

هـ - ٤ = ٠ أو هـ - ١٢ = ٠ خاصية الضرب الصفري.

هـ = ٤ أو هـ = ١٢ حل كل معادلة.

الجذران هما: ٤، ١٢

التحقق: $\leftarrow$ (٤)^٢ + ٤٨ = ١٦(٤) = ٦٤ C

= (١٢)^٢ + ٤٨ = ١٦(١٢) = ١٩٢ C

٢٤) هندسة: مساحة مثلث ٣٦ سم^٢، ويزيد ارتفاعه ٦ سم على طول قاعدته، فما ارتفاعه؟ وما طول قاعدته؟

مساحة المثلث = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ طول القاعدة × الارتفاع.

بفرض القاعدة ق

الارتفاع (ع) = ق + ٦

م = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق(ق + ٦)

٣٦ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق^٢ + ٣ق

ق^٢ + ٦ق - ٧٢ = ٠

(ق + ١٢) (ق - ٦) = ٠

(ق + ١٢) = ٠ أو ق - ٦ = ٠

ق = - ١٢ أو ق = ٦

القاعدة = ٦سم,

الارتفاع = ٦ + ٦ = ١٢سم,

٢٥) هندسة: تمثل العبارة (س -٤س - ١٢) سم مساحة مستطيل طوله (س + ٢) سم، فما عرضه؟

مساحة المستطيل = الطول × العرض.

س^٢ - ٤س - ١٢ = ض (س + ٢)

(س - ٦) (س + ٢) = ض (س + ٢)

س - ٦ = ض

العرض = س - ٦

حلل كل كثيرة حدود مما يأتي:

٢٦) ك^٢ + ١١ك ر + ١٨ر^٢

ك^٢ + ١١ك ر + ١٨ر^٢

عاملين موجبين مجموعهما ١١ر وناتج ضربهما ١٨ر^٢

٩ر × ٢ر = ١٨ر^٢، ٩ر + ٢ر = ١١ر

ك^٢ + ١١ك ر + ١٨ر^٢ = (ك + ٩ر) (ك + ٢ر)

٢٧) س^٢ -٦س ص + ٥ص^٢

س^٢ -٦س ص + ٥ص^٢

عاملين سالبين مجموعهما -٦ص وناتج ضربهما ٥ص^٢

-ص × -٥ص = ٥ص^٢، -ص +(-٥ص) = -٦ص

س^٢ -٦س ص + ٥ص^٢ = (س - ص) (س - ٥ص)

٢٨) أ^٢ + ١٠أ ب - ٣٩ب^٢

أ^٢ + ١٠أ ب - ٣٩ب^٢

عاملين مختلفي الإشارة مجموعهما ١٠ب وناتج ضربهما - ٣٩ب^٢

١٣ب × -٣ب = -٣٩ب^٢، ١٣ ب +(-٣ب) = ١٠ب

أ^٢ + ١٠أ ب - ٣٩ب^٢ = (أ + ١٣ب) (أ - ٣ب)

٢٩) سباحة: يزيد طول حوض سباحة دولي مستطيل الشكل ٢٩ متراً عن عرضه، ومساحة سطحه ١٠٥٠م^٢

أ) عرف متغيراً، واكتب معادلة تمثل مساحة سطحه.

بفرض العرض س

الطول = س + ٢٩

مساحة المستطيل = الطول × العرض.

١٠٥٠ = س(س + ٢٩)

ب) حل المعادلة.

١٠٥٠ = س (س + ٢٩)

١٠٥٠ = س^٢ + ٢٩س

س^٢ + ٢٩س - ١٠٥٠ = ٠

(س + ٥٠) (س - ٢١) = ٠

س + ٥٠ = ٠ أو س - ٢١ = ٠

س = ٥٠، س = ٢١

العرض = ٢١

الطول = ٢١ + ٢٩ = ٥٠

جـ) فسر الإجابتين، وهل هناك معنى لكل منهما؟

العرض = ٢١ لأن البعد لا يمكن أن يكون سالب لذا س = ٢١

٣٠) هندسة: اكتب عبارة تمثل محيط المستطيل الذي مساحته م = س^٢ + ١٣س - ٩٠.

م = س^٢ + ١٣س - ٩٠

م = (س - ٥) (س + ١٨)

بعدا المستطيل هما: س - ٥، س + ١٨

محيط المستطيل = ٢(الطول + العرض)

= ٢[(س - ٥) + (س + ١٨)]

= ٢[(س + س) + (-٥ + ١٨)]

= ٢(٢س + ١٣)

= ٤س + ٢٦

٣١) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذا السؤال، طريقة التحليل عندما يكون المعامل الرئيس للعبارة التربيعية لا يساوي ١.

أ) جدولياً: انقل الجدول الآتي، ثم أكمله:

ب) تحليلياً: كيف يرتبط العددان م، ن بالعددين أ، جـ؟

م × ن = أ × جـ

جـ) تحليلياً: كيف يرتبط العددان م، ن بالعدد ب؟

م + ن = ب

د) لفظياً: صف إجراء يمكن استعماله لتحليل كثيرة حدود على الصورة أس^٢ + بس + جـ.

ابحث عن عددين صحيحين م، ن حيث يكون: م ن = أ جـ، م + ن = ب

٣٢) اكتشف الخطأ: حلل كل من خليل وماجد العبارة: س + ٦س - ١٦, فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك.

إجابة خليل هي الصحيحة لأنه حلل إلى عاملين مجموعهما ٦ وناتج ضربهما - ١٦

- ٢ × ٨ = ١٦، - ٢ + ٨ = ٦

أما ماجد فحاصل جمع العاملين = - ٦

تحدٍ: أوجد جميع قيم هـ التي تجعل كل كثيرة حدود في كل مما يأتي قابلة للتحليل باستعمال الأعداد الصحيحة:

٣٣) س^٢ + هـ س - ١٩

س^٢ + هـ س - ١٩

هـ = ١٨

٣٤) س^٢ + هـ س + ١٤

س^٢ + هـ س + ١٤

هـ = ٩

٣٥) س - ٨س + هـ، هـ > ٠

س - ٨س + هـ، هـ > ٠

هـ = ١٦

٣٦) تحدٍ: حلل العبارة: (٤ص - ٥)^٢ + ٣(٤ص - ٥) - ٧٠,

(٤ص - ٥)^٢ + ٣(٤ص - ٥) - ٧٠

نوجد عاملين مختلفين الإشارة مجموعهما ٣ وناتج ضربهما - ٧٠ (١٠، - ٧)

= [(٤ص - ٥) -٧)] [(٤ص - ٥) + ١٠]

= (٤ص - ٥ - ٧) (٤ص - ٥ + ١٠)

= (٤ص - ١٢) (٤ص + ٥)

= (٤) (ص - ٣) (٤ص + ٥) ق. م. أ

٣٧) هندسة: ما العبارة التي تمثل طول المستطيل في الشكل المجاور؟

أ) س + ٥

ب) س + ٦

جـ) س - ٦

د) س - ٥

س - ٣س - ١٨ = (س - ٦) (س + ٣)

٣٨) إذا كان الفرق بين ٢١ والعددان هو ٦، فما المعادلة التي تبين هذه العلاقة؟

أ) ٢١ - ن = ٦

ب) ٢١ن = ٦

جـ) ٢١ + ن = ٦

د) ٦ن = - ٢١