للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق سبورة من متجر جوجل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

المعادلات التربيعية

تدرب وحل المسائل

حلل كل كثيرة حدود مما يأتي:

١١) ل٢ - ١٢١

ل٢ - ١٢١ = ل٢ - (١١)٢ اكتب العبارة ل - ١٢١ على صورة أ٢ - ب٢

= (ل + ١١) (ل - ١١) تحليل الفرق بين مربعين.

١٢) ر٤ - ك٤

ر٤ - ك٤ = (ر٢)٢ - (ك٢)٢ اكتب العبارة ر٤ - ك٤ على صورة أ٢ - ب٢

= (ر٢ + ك٢) (ر٢ - ك٢) تحليل الفرق بين مربعين.

= (ر٢ + ك٢) (ر + ك) (ر - ك)

١٣) ٦ن٤ - ٦

٦ن٤ - ٦ = ٦(ن - ١)

= ٦[(ن)٢ - (١)٢]

= ٦(ن٢ + ١) (ن٢ - ١) اكتب العبارة ن٤ - ١ على صورة أ٢ - ب٢

= ٦(ن + ١) (ن - ١) تحليل الفرق بين مربعين.

= ٦(ن٢ + ١) (ن + ١) (ن - ١) تحليل الفرق بين مربعين.

١٤) ر٢ - ٩ن٢

ر٢ - ٩ن٢ = ر٢ - (٣ن)٢ اكتب العبارة ن٤ - ١ على صورة أ٢ - ب٢

= (ر + ٣ن) (ر - ٣ن) تحليل الفرق بين مربعين.

١٥) ٢جـ٢ - ٣٢د٢

٢جـ٢ - ٣٢د٢ = ٢(جـ - ١٦جـ)

= ٢[جـ٢ - (٤د)٢] اكتب العبارة ن٤ - ١ على صورة أ٢ - ب٢

= ٢(جـ + ٤د) (جـ - ٤د) تحليل الفرق بين مربعين.

١٦) هـ٣ - ١٠٠هـ

هـ٣ - ١٠٠هـ = هـ (هـ٢ - ١٠٠) اكتب العبارة هـ٣ - ١٠٠هـ على صورة أ٢ - ب٢

= (هـ - ١٦) (هـ + ١٦) تحليل الفرق بين مربعين.

= (هـ + ١٦) (هـ + ٤) (هـ - ٤) تحليل الفرق بين مربعين.

١٧) هـ٤ - ٢٥٦

هـ٤ - ٢٥٦ = (هـ٢)٢ - (١٦)٢ اكتب العبارة هـ٤ - ٢٥٦ هـ على صورة أ٢ - ب٢

= (هـ٢ - ١٦) (هـ٢ + ١٦) تحليل الفرق بين مربعين.

= (هـ٢ + ١٦) (هـ + ٤) (هـ - ٤) تحليل الفرق بين مربعين.

١٨) ٢ن٣ - ن٢ -١٦٢ن + ٨١

٢ن٣ - ن٢ -١٦٢ن + ٨١ = (٢ن٣ - ن٢) + (- ١٦٢ن + ٨١)

= ن٢(٢ن - ١) + ٨١(-٢ن + ١) حلل بإخراج ق. م. أ

= ن٢(٢ن - ١) - ٨١(٢ن - ١)

= (٢ن - ١) (ن٢ - ٨١) (٢ن - ١) عامل مشترك.

= (ن + ٩) (ن - ٩) (٢ن - ١) تحليل الفرق بين مربعين.

١٩) س٢ - ٤ص٢

س٢ - ٤ص٢ = س٢ - (٢ص)٢

= (س + ٢ص) (س - ٢ً) تحليل الفرق بين مربعين.

٢٠) ٧هـ٤ - ٧ل٤

٧هـ٤ - ٧ل٤ = ٧(هـ٤ - ل٤)

= ٧[(هـ٢)٢ - (ل٢)٢]

= ٧(هـ٢ + ل٢) (هـ٢ - ل٢)

= ٧(هـ٢ + ل٢) (هـ + ل) (هـ - ل)

٢١) ٦ك٢ هـ٤ - ٥٤ك٤

٦ك٢ هـ٤ - ٥٤ك٤ = ٦ك٢ (هـ٢ - ٩ك٢) حلل بإخراج ق. م. أ

= ٦ك (هـ - (٣ك)٢) اكتب العبارة هـ٤ - ٤ك٢ على صورة أ٢ - ب٢

= ٦ك٢(هـ٢ + ٣ك) (هـ٢ - ٣ك) تحليل الفرق بين مربعين.

٢٢) ٥هـ٣ - ٢٠هـ

٥هـ٣ - ٢٠هـ = ٥هـ (هـ٢ - ٤) حلل بإخراج ق. م. أ

= ٥هـ [هـ٢ - (٢)٢] اكتب العبارة هـ٢ - ٤ على صورة أ٢ - ب٢

= ٥هـ (هـ - ٤) (هـ + ٤) تحليل الفرق بين مربعين.

٢٣) ف٣ + ٢ف٢ - ٦٤ ف - ١٢٨

ف٣ + ٢ف٢ - ٦٤ ف - ١٢٨ = (ف٣ + ٢ف٢) + (-٦٤ف - ١٢٨)

= ف٢(ف + ٢) - ٦٤(ف + ٢) إخراج ق. م. أ

= (ف - ٦٤) (ف + ٢) تحليل الفرق بين مربعين.

= (ف + ٨) (ف - ٨) (ف + ٢)

٢٤) ٣ر٣ - ١٩٢ر

٣ر٣ - ١٩٢ر = ٣ر (ر٢ - ٦٤) إخراج ق. م. أ

= ٣ر [ر٢ - (٨)٢] اكتب العبارة ر٢ - ٦٤ على صورة أ٢ - ب٢

= ٣ر (ر + ٨) (ر - ٨) تحليل الفرق بين مربعين.

٢٥) ١٠ك٣ - ١٢١٠ك

١٠ك٣ - ١٢١٠ك = ١٠ك (ك٢ - ١٢١) إخراج ق. م. أ

= ١٠ك (ك - (١١)٢] اكتب العبارة ك٢ - ١٢١ على صورة أ٢ - ب٢

= ١٠ك (ك + ١١) (ك - ١١) تحليل الفرق بين مربعين.

٢٦) ٣س ن٤ - ٢٧س٣

٣س ن٤ - ٢٧س٣ = ٣س (ن٤ - ٩س٢) إخراج ق. م. أ

= ٣س [(ن٢)٢ - (٣س)٢] اكتب العبارة ن٢ - ٩س٢ على صورة أ٢ - ب٢

= ٣س (ن + ٣س) (ن - ٣س) تحليل الفرق بين مربعين.

٢٧) ل٣ ر٥ - ل٣ ر

ل٣ ر٥ - ل٣ ر = ل ر (ر - ١)

= ل٣ ر [(ر٢)٢ - (١)٢] إخراج ق. م. أ

= ل٣ ر (ر٢ - ١) (ر٢ + ١) اكتب العبارة ر٤ - ١ على صورة أ٢ - ب٢

= ل٣ ر (ر + ١) (ر - ١) (ر٢ + ١) تحليل الفرق بين مربعين.

٢٨) ٨جـ٣ - ٨جـ

٨جـ٣ - ٨جـ = ٨جـ (جـ٢ - ١)

= ٨جـ [جـ٢ - (١)٢] اكتب العبارة جـ٢ - ١ على صورة أ٢ - ب٢

= ٨جـ (جـ + ١) (جـ - ١) تحليل الفرق بين مربعين.

٢٩) ر٣ - ٥ر٢ - ١٠٠ر + ٥٠٠

ر٣ - ٥ر٢ - ١٠٠ر + ٥٠٠ = (ر٣ - ٥) +(-١٠٠ر + ٥٠٠)

= ر٢(ر - ٥) - ١٠٠(ر - ٥) حلل بإخراج ق. م. أ

= (ر - ١٠٠) (ر - ٥) ر - ٥ عامل مشترك.

= (ر + ١٠) (ر - ١٠) (ر - ٥) تحليل الفرق بين مربعين.

٣٠) ٣ن٣ - ٧ن٢ - ٣ن + ٧

٣ن٣ - ٧ن٢ - ٣ن + ٧ = (٣ن - ٧ن) + (-٣ن + ٧)

= ن٢(٣ن - ٧) - (٣ن - ٧) حلل بإخراج ق. م. أ

= (ن٢ - ١) (٣ن - ٧) (٣ن - ٧) عامل مشترك.

= (ن + ١) (ن - ١) (٣ن - ٧) تحليل الفرق بين مربعين.

٣١) ٤م٣ + ٩م٢ - ٣٦م - ٨١

٤م٣ + ٩م٢ - ٣٦م - ٨١ = (٤م٣ + ٩م٢) + (-٣٦ - ٨١)

= م٢(٤م + ٩) - ٩(٤م + ٩) حلل بإخراج ق. م. أ

= (٤م + ٩) (م - ٩) ٤م + ٩ عامل مشترك.

= (م + ٣) (م - ٣) (٤م + ٩) تحليل الفرق بين مربعين.

٣٢) ٣م٤ + ٢٤٣

٣م٤ + ٢٤٣ = ٣(م٤ + ٨١)

٣٣) س٤ + ٦س٣ - ٣٦س٢ - ٢١٦س

س٤ + ٦س٣ - ٣٦س٢ - ٢١٦س = س (س٣ + ٦س٢ - ٣٦س - ٢١٦)

= س (س٣ + ٦س٢) + (-٣٦ - ٢١٦)]

= س (س٢(س + ٦) - ٣٦(س + ٦))

= س (س+ ٦) (س - ٣٦)

= س (س + ٦) (س + ٦) (س - ٦)

٣٤) ١٥م٣ + ١٢م٢ - ٣٧٥م - ٣٠٠

١٥م٣ + ١٢م٢ - ٣٧٥م - ٣٠٠ = ٣(٥م + ٤م - ١٢٥م - ١٠٠)

=٣[(٥م٣ + ٤م٢) + (-١٢٥م - ١٠٠)

= ٣[م٢(٥م + ٤) - ٢٥(٥م + ٤)] حلل بإخراج ق. م. أ

= ٣[(٥م + ٤) (م٢ - ٢٥)] ٥م + ٤ عامل مشترك.

= ٣(٥م + ٤) (م + ٥) (م - ٥) تحليل الفرق بين مربعين.

٣٥) هندسة: يمثل الشكل المجاور مربعاً قطع منه مربع آخر.

مربع

أ) اكتب عبارة تمثل مساحة المنطقة المظللة.

مساحة المنطقة المظللة = مساحة المربع الكبير - مساحة المربع الصغير.

= (٤ن + ١) - ٥

= ١٦ن٢ + ٨ن + ١ - ٢٥

= ١٦ن٢ + ٨ن - ٢٤سم٢

ب) أوجد بعدي مستطيل له مساحة المنطقة المظللة نفسها، مفترضاً أنهما يمثلان بثنائيتي حد.

١٦ن٢ + ٨ن - ٢٤ = ١٦ن٢ + ٢٤ن - ١٦ن - ٢٤

= (١٦ن٢ + ٢٤ن) + (-١٦ن - ٢٤)

= ٤ن (٤ن + ٦) - ٤(٤ن + ٦)

= (٤ن + ٦) (٤ن - ن)

البعدان هما: ٤ن + ٦، ٤ن - ٤

٣٦) مبان: أراد زياد بناء ملحق في باحة منزله الخلفية، بعداه ٨م، ٨م، ثم قرر تقليص طول أحد البعدين وزيادة البعد الآخر بالعدد نفسه من الأمتار، فإذا كانت مساحة الملحق بعد تقليصه تساوي ٦٠م٢، فما بعداه؟

  • البعدان الجديدان ٨ + س، ٨ - س
  • المساحة بعد التقليص = (٨ + س) (٨ - س)

٦٠ = ٦٤ - س٢

س٢ - ٦٤ + ٦٠ = ٠

س٢ - ٤ = ٠

(س - ٢) (س + ٢) = ٠

س - ٢= ٠ أو س + ٢ = ٠

س = ٢ أو س = -٢

  • البعدان بعد التقليص هما: ٨ + ٢، ٨ - ٢
  • البعدان بعد التقليص هما: ١٠، ٦م

٣٧) كتب: نشرت إحدى دور النشر كتاباً جديداً، وتمثل المعادلة ع = -٢٥م + ١٢٥م مبيعات الكتاب، حيث (ع) تمثل عدد النسخ المبيعة، و(م) عدد الأشهر التي بيع فيها الكتاب.

أ) في أي شهر يتوقع أن تنفذ النسخ المعروضة من الكتاب؟

تنفذ الكتب عند ع = ٠

٠ = -٢٥م٢ + ١٢٥م

٢٥م = ٠ أو -م + ٥ = ٠

م = ٠ أو م = ٥

تنفذ الكتب في الشهر الخامس (م = ٥).

ب) متى وصلت المبيعات إلى ذروتها؟

وصلت المبيعات ذروتها في منتصف الشهر الثالث (م = ٢,٥).

جـ) ما عدد النسخ المبيعة في الذروة؟

عدد النسخ المبيعة في الذروة نعوض عن م = ٢,٥

ع = -٢٥(٢,٥)٢ + ١٢٥(٢,٥)

= -٢٥× ٦,٢٥ + ٣١٢,٥

= -١٥٦,٢٥ + ٣١٢,٥

= ١٥٦,٢٥

ع ≈ ١٥٦

حل كل معادلة مما يأتي بالتحليل، ثم تحقق من صحة الحل:

٣٨) ٣٦ل٢ = ١٢١

٣٦ل٢ = ١٢١ المعادلة الأصلية.

٣٦ل٢ - ١٢١ = ٠ أساوي الطرفين بالصفر.

(٦ل + ١١) (٦ل - ١١) = ٠ تحليل فرق المربعين.

٦ل + ١١ = ٠ أو ٦ل - ١١ = ٠ خاصية الضرب الصفري.

٦ل = - ١١ أو ٦ل = ١١

ل = -١١٦ أو ل = ١١٦ حل كل معادلة.

الجذران هما: -١١٦ و ١١٦

٣٩) ١٠٠ = ٢٥س٢

١٠٠ = ٢٥س٢ المعادلة الأصلية.

٢٥س٢- ١٠٠ = ٠ أساوي الطرفين بالصفر.

(٥س + ١٠) (٥س - ١٠) = ٠ تحليل فرق المربعين.

٥س + ١٠ = ٠ أو ٥س - ١٠ = ٠ خاصية الضرب الصفري.

٥س = - ١٠ أو ٥س = ١٠

س = -١٠٥ أو س = ١٠٥ حل كل معادلة.

الجذران هما: -٢ و ٢

٤٠) ٤ص٢ - ٩١٦ = ٠

٤ص٢ - ٩١٦ = ٠

(٢ص) - (٣٤)٢ = ٠

(٢ص - ٣٤) (٢ص + ٣٤) = ٠

٢ص - ٣٤ = ٠ أو ٢ص + ٣٤ = ٠

ص = ٣٤ ÷ ٢ أو ص = - ٣٤ ÷ ٢

ص = ٣٨ أو ص = - ٣٨

الجذران هما: ٣٨ و - ٣٨

٤١) ١٤ب٢ = ١٦

١٤ب٢ = ١٦

ب٢ = ٦٤

ب٢ - ٦٤ = ٠

(ب - ٨) (ب + ٨) = ٠

ب - ٨ = ٠ أو ب + ٨ = ٠

ب = ٨ وب = -٨

الجذران هما: ٨، -٨

٤٢) ٨١ - ١٢٥س٢ = ٠

٨١ - ١٢٥س٢ = ٠

(٩ + ١٥س) (٩ - ١٥س) = ٠

٩ + ١٥س = ٠ أو ٩ - ١٥س = ٠

١٥س = - ٩ أو ١٥س = ٩

س = - ٤٥ أو س = ٤٥

الجذران هما: ٤٥، - ٤٥

٤٣) ٩د٢ - ٨١ = ٠

٩د٢ - ٨١ = ٠

(٣د + ٩) (٣د - ٩) = ٠

٣د + ٩ = ٠ أو ٣د - ٩ = ٠

٣د = -٩ أو ٣د = ٩

د = -٣ أو د = ٣

الجذران هما: -٣، ٣

٤٤) تمثيلات متعددة: استكشف في هذه المسألة ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً.

أ) جدولياً: انسخ الجدول أدناه وأكمله بتحليل كل ثلاثية حدود، ثم اكتب أول وآخر حد في كثيرة الحدود على صورة مربعات كاملة.

كثيرة الحدود تحليل كثير الحدود الحد الأول الحد الأخير الحد الأوسط
٤س٢ + ١٢س + ٩ (٢س + ٣) (٢س + ٣) ٤س٢ = (٢س)٢ ٩ = ٢٣ ١٢س = ٢ × ٢س × ٣
٩س٢ - ٢٤س + ١٦ (٣س - ٤) (٣س - ٤) ٩س٢ = (٣س)٢ ١٦ = ٢٤ ١٤س = ٢ × ٣س × ٤
٤س٢ - ٢٠س + ٢٥ (٢س - ٥) (٢س - ٥) ٤س٢ = (٢س)٢ ٢٥ = ٢٥ ٢٠س = ٢ × ٢س × ٥
١٦س٢ + ٢٤س + ٩ (٤س + ٣) (٤س + ٣) ١٦س٢ = (٤س)٢ ٩ = ٢٣ ٢٤س = ٢ × ٤س × ٣

ب) تحليلياً: اكتب الحد الأوسط في كل كثيرة الحدود باستعمال الجذور التربيعية للمربعات الكاملة للحدين الأول والأخير.

الحد الأوسط
١٢س = ٢ × ٢س × ٣
١٤س = ٢ × ٣س × ٤
٢٠س = ٢ × ٢س × ٥
٢٤س = ٢ × ٤س × ٣

جـ) جبرياً: اكتب قاعدة لثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً.

(أ + ب) (أ + ب) = أ٢ + ٢أ ب + ب٢

(أ - ب) (أ - ب) = أ٢ - ٢أ ب + ب٢

د) لفظياً: ما الشروط الواجب توافرها في ثلاثية حدود لتصنف على أنها مربع كامل؟

الشروط الواجب توفرها في ثلاثية حدود لتصنف على أنها مربع كامل هي:

  1. الحدان الأول والأخير مربعين كاملين.
  2. الحد الأوسط يساوي مثلي ناتج ضرب الجذرين التربيعين للحدين الأول والأخير بإشارة موجبة أو سالبة.

مسائل مهارات التفكير العليا

٤٥) اكتشف الخطأ: حللت كل من هلا ومنى العبارة الآتية، فأيهما إجابتها صحيحة؟ فسر ذلك.

اكتشف الخطأ

إجابة منى هي الصحيحة: لأنه عند التحقق من إجابة هلا يكون ناتج الضرب ١٦س٢ - ٢٥ص٢

٤٦) تحد: بسط العبارة: ٩ - (ك + ٣)٢ بتحليلها بالفرق بين مربعين.

٩ - (ك + ٣)

[٣ + (ك + ٣)] [٣ - (ك + ٣)]

(٦ + ك) (-ك) = -٦ك - ك٢

٤٧) تحد: حلل: س١٦ - ٨١

س١٦ - ٨١ = (س٨ + ٩) (س٨ - ٩)

= (س٨ + ٩) (س٤ + ٣) (س٤ - ٣)

٤٨) تبرير: حدد إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة، وأعط مثالاً مضاداً للتحقق من إجابتك: "أي ثنائية حد جميع حدودها مربعات كاملة قابلة للتحليل".

العبارة خاطئة:

مثال: أ٢ + ب٢ ثنائية حد جميع حدودها مربعات كاملة وغير قابلة للتحليل.

٤٩) مسألة مفتوحة: أعط مثالاً لثنائية حد نحتاج عند تحليلها تاماً إلى تكرار قاعدة الفرق بين مربعين، ثم حللها.

ص٤ - ٨١ = (ص٢ + ٩) (ص٢ - ٩)

= (ص٢ + ٩) (ص + ٣) (ص - ٣)

٥٠) اكتب: لماذا لا تتضمن قاعدة الفرق بين مربعين حداً متغيراً في الوسط؟

لا تتضمن قاعدة الفرق بين مربعين حداً متغيراً في الوسط لأنه عند ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب يكون كل من الحدين الأوسطين والطرفين معكوساً للآخر وعند جمع هذين الحدين فإن مجموعهما يساوي صفراً.

تدريب على اختبار

٥١) إذا كان أحد جذري المعادلة ٢س + ١٣س = ٢٤ هو - ٨ فما هو الجذر الآخر؟

أ) -٣٢

ب) ٣٢

جـ) - ٢٣

د) - ٢٣

٢س + ١٣س - ٢٤ = ٠

(٢س - ٣) (س+ ٨) = ٠

٢س = ٣

س = ٣٢

إذن الجواب ب) ٣٢

٥٢) أي مما يأتي يمثل مجموع حلي المعادلة س٢ + ٣س = ٥٤؟

أ) -٣

ب) -٢١

جـ) ٣

د) ٢١

س٢ + ٣س = ٥٤

(س - ٦) (س + ٩) = ٠

س = ٦، س = -٩

٦ + (-٩) = -٣

الاختيار الصحيح: أ) -٣

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق سبورة من متجر جوجل

النقاشات