حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد إن كانت كل ثلاثية حدود فيما يأتي تشكل مربعاً كاملاً أم لا، وإذا كانت كذلك فحللها:

١٠) ٤س^٢ - ٤٢س + ١١٠

٤س^٢ - ٤٢س + ١١٠

• الحد الأول: ٤س^٢ مربع كامل [٤س^٢ = (٢س)^٢]
• الحد الأخير: ١١٠ ليس مربعاً كاملاً
• العبارة: ٤س^٢ - ٤٢س + ١١٠ لا تشكل مربعاً كاملاً.

١١) ١٦س^٢ - ٥٦س + ٤٩

• الحد الأول: ١٦س^٢ مربع كامل [١٦س^٢ = (٤س)^٢]
• الحد الأخير: ٤٩ مربع كامل [٤٩ = (٧)^٢]
• الحد الأوسط: ٥٦س = ٢(٤س) (٧)
• العبارة: ١٦س^٢ - ٥٦س + ٤٩ تشكل مربع كاملاً.

١٦س^٢ - ٥٦س + ٤٩ = (٤س - ٧)^٢

١٢) ٨١س^٢ - ٩٠س + ٢٥

٨١س^٢ - ٩٠س + ٢٥

• الحد الأول: ٨١س^٢ مربع كامل [٨١س^٢ = (٩س)^٢]
• الحد الأخير: ٢٥ مربع كامل [٢٥ = (٥)^٢]
• الحد الأوسط: ٩٠س = ٢(٩س) (٥)
• العبارة: ٨١س^٢ - ٩٠س + ٢٥ تشكل مربعاً كاملاً.

٨١س^٢ - ٩٠س + ٢٥ = (٩س - ٥)^٢

حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب "أولية":

١٣) ٢٤د^٢ + ٣٩د - ١٨

٢٤د^٢ + ٣٩د - ١٨ = ٣(٨د^٢ + ١٣د - ٦)

العبارة ليست مربعاً كاملاً.

٣(٨د^٢ + ١٣د - ٦) = ٣(٨د + ١٦د - ٣د - ٦)

= ٣[(٨د^٢ + ١٦د) + (-٣د - ٦)]

= ٣[٨د (د + ٢) - ٣(د + ٢)]

= ٣(د + ٢) (٨د - ٣)

١٤) ٨س^٢ + ١٠س - ٢١

٨س^٢ + ١٠س - ٢١

العبارة ليست مربعاً كاملاً، ولا يمكن التحليل باستعمال النمط أ س^٢ + ب س + جـ

لا يوجد عددان ناتج ضربهما ٨ × - ٢١ = -١٦٨ ومجموعهما ١٠

كثيرة الحدود ٨س^٢ + ١٠س - ٢١ "أولية".

١٥) ٢ب^٢ + ١٢ب - ٢٤

٢ب + ١٢ب - ٢٤ = (٤أ)^٢ - (١١ب)^٢

= (٤أ + ١١ب) (٤أ - ١١ب)

١٦) ١٦أ^٢ - ١٢١ب^٢

= (٤ أ)^٢ - (١١ ب)^٢

= (٤أ + ١١ ب) (٤أ - ١١ب)

١٧) ١٢م^٣ - ٢٢م^٢ - ٧٠م

١٢م^٣ - ٢٢م^٢ - ٧٠م = ٢م (٦م - ١١م - ٣٥)

= ٢م (٦م^٢ + ١٠م - ٢١م - ٣٥)

= ٢م [(٦م^٢ + ١٠م) + (-٢١م - ٣٥)

= ٢م [٢م (٣م + ٥) - ٧(٣م + ٥)]

= ٢م (٣م + ٥) (٢م - ٧)

١٨) ٨جـ^٢ - ٨٨جـ + ٢٤٢

٨جـ^٢ - ٨٨جـ + ٢٤٢ = ٢(٤جـ - ٤٤جـ + ١٢١)

= ٢(٢جـ - ١١)^٢

١٩) و^٤ - و^٢

و^٤ - و^٢ = و^٢(و^٢ - ١)

= و^٢(و + ١) (و - ١)

٢٠) ١٢ل^٣ - ٣ل

١٢ل^٣ - ٣ل = ٣ل (٤ل^٢ - ١)

= ٣ل (٢ل + ١) (٢ل - ١)

٢١) ١٦ك^٣ - ٤٨ك^٢ + ٣٦ك

١٦ك^٣ - ٤٨ك^٢ + ٣٦ك = ٤ك (٤ك^٢ - ١٢ك + ٩)

= ٤ك (٢ك - ٣)^٢

٢٢) ٤ن^٣ + ١٠ن^٢ - ٨٤ن

٤ن^٣ + ١٠ن^٢ - ٨٤ن = ٢ن (٢ن^٢ + ٥ن - ٤٢)

= ٢ن (٢ن^٢ + ١٢ن - ٧ن - ٤٢)

=٢ن [(٢ن + ١٢ن) + (-٧ن - ٤٢)]

= ٢ن [٢ن (ن + ٦) - ٧(ن + ٦)]

= ٢ن (ن + ٦) (٢ن - ٧)

٢٣) ٢أ^٢ ب^٢ - ٢أ^٢ - ٢أ ب^٣ + ٢أ ب

٢أ^٢ ب^٢ - ٢أ^٢ - ٢أ ب^٣ + ٢أ ب = ٢أ (أ ب^٢ - أ - ب^٣ + ب)

= ٢أ [(أ ب^٢ - أ) + (-ب^٣ + ب)

= ٢أ [أ(ب^٢ - ١) + ب (-ب^٢ + ١)

= ٢أ [أ(ب^٢ - ١) - ب (ب^٢ - ١)

= ٢أ [(ب^٢ - ١) (أ - ب)]

= ٢أ (ب + ١) (ب - ١) (أ - ب)

٢٤) ٢ر^٣ - ر^٢ - ٧٢ر + ٣٦

٢ر^٣ - ر^٢ - ٧٢ر + ٣٦ = (٢ر^٣ - ر^٢) + (-٧٢ر + ٣٦)

= ر^٢(٢ر - ١) + ٣٦(-٢ر - ١)

= ر^٢(٢ر - ١) - ٣٦(٢ر + ١)

= (٢ر - ١) (ر^٢ - ٣٦)

= (٢ر - ١) (ر + ٦) (ر - ٦)

٢٥) ٣ك^٣ - ٢٤ك^٢ + ٤٨ك

٣ك^٣ - ٢٤ك^٢ + ٤٨ك = ٣ك (ك^٢ - ٨ك + ١٦)

= ٣ك (ك - ٤)^٢

٢٦) جـ ^٢+ ٢جـ - ٣هـ^٢ + ٤هـ

جـ ^٢+ ٢جـ - ٣هـ^٢ + ٤هـ = (جـ ^٢+ ٢جـ) + (- ٣هـ^٢ + ٤هـ)

= جـ (جـ + ٢) + هـ (-٣هـ + ٤)

لا توجد عوامل مشتركة لذا كثيرة الحدود - ٣هـ^٢ + ٤هـ أولية.

٢٧) ٨ص^٢ - ٢٠٠ع^٢

٨ص^٢ - ٢٠٠ع^٢ = ٨(ص^٢ - ٢٥ع^٢)

= ٨(ص + ٥ع) (ص - ٥ع)

حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

٢٨) ٤م^٢ - ٢٤م + ٣٦ = ٠

٤م^٢ - ٢٤م + ٣٦ = ٠

٤م - ٢٤م + ٣٦ = (٢م)^٢ - ٢(٢م) (٦) + (٦)^٢

(٢م - ٦)^٢ = ٠

(٢م - ٦) (٢م - ٦) = ٠

٢م - ٦ = ٠

٢م = ٦

م = ٣

التحقق: $\leftarrow$ ٤(٣)^٢ - ٢٤(٣) + ٣٦ = ٠

٢٩) (ص - ٤)^٢ = ٧

(ص - ٤)^٢ = ٧

ص - ٤ = $\pm \sqrt{\mathrm{٧}}$

ص = ٤ $\pm \sqrt{\mathrm{٧}}$

الجذران هما: ٤ + $\sqrt{\mathrm{٧}}$، ٤ - $\sqrt{\mathrm{٧}}$

التحقق: $\leftarrow$ (٤ + $\sqrt{\mathrm{٧}}$ - ٤)^٢ = ($\sqrt{\mathrm{٧}}$)^٢ = ٧

(٤ - $\sqrt{\mathrm{٧}}$ - ٤)^٢ = (-$\sqrt{\mathrm{٧}}$)^٢ = ٧

٣٠) أ^٢ + $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٧}}$أ + $\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٤٩}}$ = ٠

أ^٢ + $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٧}}$أ + $\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٤٩}}$ = (أ) + ٢($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$) (أ) + ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$)^٢

(أ + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$)^٢ = ٠

(أ + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$) (أ + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$) = ٠

أ + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$ = ٠

أ = -$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$

التحقق: $\leftarrow$ (-$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$) + ($\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٧}}$ × - $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$) + $\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٤٩}}$ = ٠

٣١) س^٢ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$س + $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$ = ٠

س^٢ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$س + $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$ = ٠

س^٢ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$س + $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$ = (س)^٢ -٢($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$) (س) + ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$)^٢

(س - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٢ = ٠

(س - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$) (س - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$) = ٠

س - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ = ٠

س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

التحقق: $\leftarrow$ ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$) - ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$) + $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$ = ٠

٣٢) س^٢ + ٨س + ١٦ = ٢٥

س^٢ + ٨س + ١٦ = ٢٥

س = ٨س - ٩ = ٠

(س + ٩) (س - ١) = ٠

س + ٩ = ٠ أو س - ١ = ٠

س = -٩ أو س = ١

الجذران هما: -٩، ١

التحقق: $\leftarrow$ (-٩)^٢ + ٨(-٩) + ١٦ = ٢٥

(١) + ٨(١) + ١٦ = ٢٥

٣٣) ٥س^٢ - ٦٠س = -١٨٠

٥س^٢ - ٦٠س = -١٨٠

٥س^٢ - ٦٠س +١٨٠ = ٠

٥(س^٢ - ١٢س + ٣٦) = ٠

(س^٢ - ١٢س + ٣٦) = (س)^٢ -٢(س) (٦) + (٦)^٢

٥(س - ٦)^٢ = ٠

٥(س - ٦) (س - ٦) = ٠

س -٦ = ٠

س = ٦

التحقق: $\leftarrow$ ٥(٦)^٢ - ٦٠(٦) = ٢٥

٣٤) ٤س^٢ = ٨٠س - ٤٠٠

٤س^٢ = ٨٠س - ٤٠٠

٤س^٢ - ٨٠س + ٤٠٠ = ٠

٤(س^٢ - ٢٠س + ١٠٠) = ٠

(س^٢ - ٢٠س + ١٠٠) = (س)^٢ - ٢(س) (١٠) + (١٠)^٢

٤(س - ١٠)^٢ = ٠

٤(س - ١٠) (س = ١٠)

س - ١٠ = ٠

س = ١٠

التحقق: $\leftarrow$ ٤ (١٠)^٢ = ٨٠(١٠) - ٤٠٠

٤٠٠ = ٨٠٠ - ٤٠٠

٣٥) ٩ - ٥٤س = -٨١س^٢

٩ - ٥٤س = -٨١س^٢

٨١س^٢ -٥٤س + ٩ = ٠

٨١س^٢ -٥٤س + ٩ = (٩س)^٢ -٢(٩س) (٣) + (٣)^٢

(٩س - ٣)^٢ = ٠

٩س - ٣ = ٠

٩س = ٣

س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

التحقق: $\leftarrow$ ٩ - ٥٤($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$) = - ٨١ ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$)^٢

٩ - ١٨ = -٩

-٩ = -٩

٣٦) ٤جـ^٢ + ٤جـ + ١ = ١٥

٤جـ^٢ + ٤جـ + ١ = ١٥

٤جـ^٢ + ٤جـ + ١ = (٢جـ)^٢ + ٢(٢جـ) (١) + (١)^٢

(٢جـ + ١)^٢ = ١٥

٢جـ + ١ = $\pm \sqrt{\mathrm{١٥}}$

٢جـ = -١ $\pm \sqrt{\mathrm{١٥}}$

جـ = $\frac{-\mathrm{١} + \sqrt{\mathrm{١٥}}}{\mathrm{٢}}$، جـ = $\frac{-\mathrm{١} - \sqrt{\mathrm{١٥}}}{\mathrm{٢}}$

التحقق: $\leftarrow$ ٤($\frac{-\mathrm{١} + \sqrt{\mathrm{١٥}}}{\mathrm{٢}}$)^٢ + ٤($\frac{-\mathrm{١} + \sqrt{\mathrm{١٥}}}{\mathrm{٢}}$) + ١ = ١٥

٤($\frac{-\mathrm{١} - \sqrt{\mathrm{١٥}}}{\mathrm{٢}}$)^٢ + ٤($\frac{-\mathrm{١} - \sqrt{\mathrm{١٥}}}{\mathrm{٢}}$) + ١ = ١٥

٣٧) فيزياء: أسقط بالون ماء في تجربة من نافذة في المدرسة، ارتفاعها ٩م، ما الزمن الذي يستغرقه البالون ليصل إلى الأرض؟ قرب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة.

عند مستوى الأرض ع = ٠، والارتفاع الابتدائي ٩ (ع = ٩)

ع = -٥ن + ع_٠

٠ = -٥ن^٢ + ٩

-٩ = -٥ن^٢

١,٨ = ن^٢

$\pm$ ١,٣٤ = ن

الزمن الذي يستغرقه البالون للوصول إلى الأرض = ١,٣٤ ثانية تقريباً.

٣٨) هندسة: مثل مساحة مربع بالعبارة ٩س^٢ -٤٢س + ٤٩, أوجد طول ضلع المربع.

مساحة المربع = (طول الضلع).

٩س^٢ - ٤٢س + ٤٩ = (٣س - ٧)^٢

طول ضلع المربع = ٣س - ٧

٣٩) هندسة: إذا كانت العبارة ٨ص^٣ + ٤٠ص^٢ + ٥٠ص تمثل حجم منشور رباعي قاعدته مستطيلة، فأوجد أبعاد المنشور الممكنة على صورة كثيرات الحدود بمعاملات أعداد صحيحة.

٨ص^٣ + ٤٠ص^٢ + ٥٠ص

= ٢ص (٤ص^٢ + ٢٠ص + ٢٥)

= ٢ص (٢ص + ٥) (٢ص + ٥)

أبعاد المنشور هي: ٢ص، ٢ص + ٥، ٢ص + ٥

٤٠) اكتشف الخطأ: حلل منصور وفيصل: س - تحليلاً تاماً، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك.

إجابة فيصل هي الصحيحة: لأن منصور لم يحلل العبارة تحليلاً تاماً لم يحلل الفرق بين مربعين في المرة الثانية.

٤١) تحد: حلل س ^{ن + ٦} + س ^ن+٢ + س ^ن تحليلاً تاماً.

س ^{ن + ٦} + س ^ن+٢ + س ^ن = س ^ن(س^٦ + س^٢ + ١)

٤٢) مسألة مفتوحة: اكتب معادلة ثلاثية حدود تشكل مربعاً كاملاً يكون معامل الحد الأوسط سالباً والحد الأخير كسراً اعتيادياً، ثم حل المعادلة.

٤ص - ٩ص + $\frac{\mathrm{٨١}}{\mathrm{١٦}}$ = ٠

(٢ص - $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$)^٢

(٢ص - $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$) (٢ص - $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$) = ٠

٢ص - $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$ = ٠

٢ص = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$

ص = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٨}}$

٤٣) تبرير: اكتب مثالاً مضاداً للعبارة: "لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة ثلاثة حلول حقيقة دائماً".

س٣ + س^٢ + س + ١ = ٠

لها حل حقيقي واحد وتحليلها إلى عوامها هو (س^٢ + ١) (س + ١)

وبمساواة هذين العاملين بالصفر نحصل على حل واحد فقط هو س = -١

لأن س^٢ + ١ ليس لها حل حقيقي.

٤٤) اكتب: فسر كيف تحلل كثيرة الحدود تحليلاً تاماً.

• لتحليل كثيرة حدود تحليلاً تاماً نبحث أولاً عن (ق. م. أ) لجميع الحدود ونحلل بإخراج (ق. م. أ) لكل الحدود.
• وإذا كان أحد العوامل ثنائية حد فأتحقق إذا كان الحدان يمثلان فرق بين مربعين وأحلل إلى العوامل في هذه الحالة.
• وإذا كان أحد العوامل ثلاثية حدود فأتأكد إذا كانت تمثل مربعاً كاملاً أو لا وأحلله.
• وإذا كان أحد العوامل يحتوي على أربعة حدود أو أكثر فأحلل بتجميع الحدود.
• أما إذا لم يكن لكثير الحدود (ق. م. أ) ولم تكن قابلة للتحليل فإنها تكون أولية.

٤٥) حدد ثلاثية الحدود التي تختلف عن كثيرات الحدود الأخرى فيما يأتي، فسر إجابتك:

ثلاثية الحدود المختلفة هي: ٤س^٢ + ١٠س + ٤ لأنها ثلاثية حدود لا تشكل مربعاً كاملاً، فيما العبارات الثلاث الأخرى تشكل مربعات كاملة.

٤٦) اكتب: فسر كيف تحدد إذا كانت ثلاثية الحدود تشكل مربعاً كاملاً.

أحدد إذا كانت ثلاثية الحدود تشكل مربعاً كاملاً.

1. أولاً: الحدان الأول والأخير يشكلان مربعات كاملة.
2. ثانياً: الحد الأوسط يساوي $\pm$ مثلي حاصل ضرب الجذر الأساسي للحدين الأول والأخير.

فإذا تحققت الشروط السابقة فإن ثلاثية الحدود تشكل مربعاً كاملاً.

٤٧) حل المعادلة (س - ٣)^٢ = ٢٥.

أ) -٢،٨

ب) -٨،٢

جـ) ١٤،٤

د) -١٤،٤

س - ٣ = $\pm \sqrt{\mathrm{٢٥}}$

س = ٥ + ٣ = ٨

س = -٥ + ٣ = -٢

٤٨) هندسة إذا كان محيط دائرة $\frac{\mathrm{٦}ط}{\mathrm{٥}}$ ، فما مساحتها؟

أ) $\frac{\mathrm{٣}ط}{\mathrm{٥}}$ وحدة مربعة.

ب) $\frac{\mathrm{١٢}ط}{\mathrm{٥}}$ وحدة مربعة.

جـ) $\frac{\mathbf{٩}\mathbf{ط}}{\mathbf{٢٥}}$ وحدة مربعة.

د) $\frac{\mathrm{٣٠}ط}{\mathrm{٢٥}}$ وحدة مربعة.