حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد إذا كانت الحوادث فيما يأتي مستقلة أم غير مستقلة، ثم احسب احتمال كل منها:

٧) نقود: إذا ألقيت قطعة نقود ٤ مرات، فما احتمال ظهور الكتابة في المرات الأربع جميعها؟

مستقلة، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}$ = ٦,٣٪ تقريباً.

٨) مكعب أرقام: رمي مكعب أرقام مرتين، فما احتمال ظهور عددين مختلفين؟

مستقلة، $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٦}}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$= ٨٣٪ تقريباً.

٩) حلوى: يحتوي صندوق على ١٠ قطع شوكولاتة بالحليب و٨ قطع شوكولاتة سوداء و٦ قطع شوكولاتة بيضاء، اختار محمد قطعة واحدة عشوائياً وأكلها، ثم اختار قطعة ثانية عشوائياً، فما احتمال أن يكون قد اختار قطعة شوكولاتة بالحليب، ثم قطعة شوكولاتة بيضاء؟

غير مستقلة، $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٢٤}}\times \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢٣}}=\frac{\mathrm{٦٠}}{\mathrm{٥٥٢}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤٦}}$ = ١١٪ تقريباً.

١٠) مكعب أرقام: إذا ألقي مكعب أرقام مرتين، فما احتمال ظهور العدد نفسه في الرميتين؟

مستقلة، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ = ١٧٪ تقريباً.

حدد إذا كانت الحوادث متنافية أم غير متنافية، ثم أوجد احتمال كل منها:

١١) لعبة البولينج: تشير نتائج سابقة إلى أن احتمال أن يسقط مشعل جميع القوارير في المحاولة الأولى ٣٠٪، واحتمال إسقاطها في المحاولة الثانية ٤٥٪، واحتمال عدم إسقاطها في المحاولتين ٢٥٪، فما احتمال أن يسقط مشعل القوارير جميعها في المحاولة الأولى أو الثانية لأي إطار؟

متنافيتان، $\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{١٠٠}}+\frac{\mathrm{٤٥}}{\mathrm{١٠٠}}=\frac{\mathrm{٧٥}}{\mathrm{١٠٠}}$ = ٧٥٪ تقريباً.

١٢) صغار القططة: أنجبت هرة ٨ قططة صغيرة: خمس إناث؛ برتقاليتان، ٣ ملونة، وثلاثة ذكور؛ واحد برتقالي، واثنان ملونان، فأراد خالد أن يحتفظ بواحدة من القطة الصغيرة، فما احتمال أن يختار منها واحداً برتقالي اللون أو أثنى عشوائياً؟

غير متنافيتان، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ = ٧٥٪ تقريباً.

يحتوي كيس على ١٠ بطاقات حمراء و١٠ زرقاء و١٠ بيضاء و١٠ خضراء، ورقمت البطاقات من كل لون بالأعداد من ١ إلى ١٠، فإذا سحبت بطاقتان من دون إرجاع، فأوجد كلاً من الاحتمالات الآتية:

١٣) ح (حمراء أو زرقاء)

$\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٤٠}}+\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٤٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = ٥٠٪

١٤) ح (زرقاء أو بيضاء)

$\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٤٠}}+\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٤٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = ٥٠٪

١٥) ح (١٠ ثم حمراء)

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٤٠}}\times \frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٣٩}}=\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{١٥٦٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٣٠}}=$ ٢ ٪ تقريباً.

١٦) ح (٨ ثم زرقاء)

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٤٠}}\times \frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٣٩}}=\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{١٥٦٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٣٠}}=$ ٢ ٪ تقريباً.

١٧) ح (خمسة ثم خضراء)

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٣٠}}$ = ٢٪ تقريباً.

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٤٠}}\times \frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٣٩}}=\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{١٥٦٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٣٠}}=$ ٢ ٪ تقريباً.

١٨) ح (٣ أو ليست بيضاء)

$\frac{\mathrm{٣١}}{\mathrm{٤٠}}$ = ٧٨٪ تقريباً

ليست بيضاء = ٤٠ - ١٠ = ٣٠

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٤٠}}+\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٤٠}}=\frac{\mathrm{٣٤}}{\mathrm{٤٠}}$

١٩) النشاط المدرسي: يمثل شكل ڤن الآتي النشاطات المدرسية التي يشارك فيها طلاب المرحلة المتوسطة في إحدى المدارس.

أ) ما عدد طلاب المرحلة المتوسطة في هذه المدرسة؟

٥١ + ٣٠ + ٣٨ + ١٠ + ٨ + ٤ + ١٣٧ + ٦٧ = ٣٤٥ طالباً.

ب) ما عدد الطلاب المشاركين في النشاط الرياضي؟

١٣٧ + ٨ + ١٠ + ٤ = ١٥٩ طالباً.

جـ) إذا اختير أحد طلاب الصف عشوائياً، فما احتمال أن يكون مشاركاً في النشاط الرياضي أو العلمي؟

$\frac{\mathrm{١٥٩}}{\mathrm{٣٤٥}}+\frac{(\mathrm{٣٨} + \mathrm{٣٠})}{\mathrm{٣٤٥}}=\frac{\mathrm{١٥٩}}{\mathrm{٣٤٥}}+\frac{\mathrm{٦٨}}{\mathrm{٣٤٥}}=\frac{\mathrm{٢٢٧}}{\mathrm{٣٤٥}}$ = ٦٦٪ تقريباً.

د) إذا اختير أحد طلاب الصف عشوائياً، فما احتمال أن يكون مشاركاً في النشاطين الثقافي والعلمي فقط؟

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢٣}}$ = ٩٪ تقريباً.

٢٠) حلوى: يحتوي وعاء على ١٠ قطع حلوى حمراء، و٦ خضراء، و٧ صفراء و٥ برتقالية، فما احتمال أن يتم اختيار ٣ قطع عشوائياً مع الإرجاع، على أن تكون الأولى حمراء والثانية حمراء والثالثة برتقالية؟

$\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٢٨}}\times \frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٢٨}}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢٨}}=\frac{\mathrm{٥٠٠}}{\mathrm{٢١٩٥٢}}=\frac{\mathrm{١٢٥}}{\mathrm{٥٤٨٨}}$ = ٢٪ تقريباً.

٢١) اكتشف الخطأ: يريد كل من حميد وجمال تحديد احتمال اختيار كرة زرقاء أو حمراء عشوائياً من كيس يحتوي على ٨ كرات زرقاء و٦ حمراء و٨ صفراء و٤ بيضاء، فأيهما كانت إجابته صحيحة؟ اشرح تبريرك.

حمد، يجب جمع الاحتمالين لأننا نريد احتمال كرة زرقاء أو حمراء وهما حادثتان متنافيتان.

٢٢) تبرير: افترض أن هناك ٣ حوادث غير متنافية هي أ، ب، جـ، واكتب جميع الاحتمالات التي يجب أخذها في الاعتبار عند حساب ح (أ أو ب أو جـ)، ثم اكتب الصيغة التي تستعمل لحساب هذا الاحتمال.

ح (أ)، ح (ب)، ح (جـ)، ح (أ وب)، ح (أ وجـ)، ح (ب وجـ)، ح (أ أو ب أو جـ)

= ح (أ)، ح(ب)، ح(جـ)، ح (أ وب)، ح (أ وجـ)، ح (ب وجـ)، ح (أ أو ب أو جـ)

٢٣) مسألة مفتوحة: صف موقفاً في حياتك يتضمن حوادث مستقلة وأخرى غير مستقلة، واشرح الأسباب التي تجعل الحادثة مستقلة أو غير مستقلة.

اختيار كتاب وقراءته ووضعه جانباً ثم اختيار آخر وقراءته ووضعه جانباً تمثل حادثاً مستقلاً لأن الكتاب الأول وضع جانباً قبل اختيار الكتاب الثاني، أما اختيار الواجب البيتي لمادتين لحلهما فسيكون حادثاً غير مستقل إذا لم أضع الواجب الأول جانباً.

٢٤) اكتب: اشرح لماذا يستعمل الطرح عند حساب احتمال حادثتين غير متنافيتين.

إذا كانت الحادثتان غير متنافيتين فإنه يوجد فيهما عناصر مشتركة لذا لابد أن نطرح للتخلص من العناصر التي تحسب مرتين.

٢٥) بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونة من ٤ أشخاص من بين ١٢ شخصاً؟

أ) ٤٨

ب) ٤٨٣

جـ) ٤٩٥

د) ١١٨٨٠

^ن ق _ر = $\frac{ن!}{(ن-ر)ر!}$

^١٢ق_٤ $\frac{\mathrm{١٢}!}{(\mathrm{١٢}-\mathrm{٤})!\mathrm{٤}!}=\frac{\mathrm{١٢}!}{\mathrm{٨}!\mathrm{٤}!}$= ٤٩٥

٢٦) إجابة قصيرة: إذا كان احتمال ظهور الشعار عند إلقاء قطعة نقود يساوي احتمال ظهور الكتابة، فما احتمال ظهور الكتابة إذا ألقيت قطعة النقد مرة أخرى؟

أ) $\frac{\mathbf{١}}{\mathbf{٢}}$

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

جـ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

د) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$